薛定谔方程中的i曾令许多物理学家困惑，虚数有真实的物理意义吗？i究竟是量子理论的必要组成部分，还是仅仅为了方便数学运算？很早就有物理学家干脆抛弃i，构建出实数量子力学，但并未获得实验证实。然而，故事在2025年发生了变化。
撰文 | 一根弦
在物理学发展历史中，量子力学的诞生具备里程碑式的意义。从物理思想上讲，量子力学的出现打破了经典物理中的“机械决定论”，刷新了人类对微观世界的认知观念。从数学结构上看，量子力学的核心理论——薛定谔方程引入了不可消除的虚数。
那么问题来了：量子力学中对复数的引入仅仅是数学上的便利，还是物理学自身的需要呢？自从1926年薛定谔方程提出之日起，这个问题就一直在困扰着物理学家。
近些年，随着人们对量子力学基础及相关实验的讨论不断加深，这个老问题又重新引发了物理学家的浓厚兴趣[1, 2]。
虚数VS 量子力学
虚数概念的引入出现在16世纪的意大利，文艺复兴时期的数学家热衷于寻找一元高次方程的通解（编者注：可参见《》）。1545年，意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501-1576）在《大术》（Ars magna）中提出了一个著名的问题：把10分成2个部分，它们的乘积等于40（即求解x(10-x)=40）。卡尔达诺发现，没有任何两个实数可以满足上述条件，但(5+
) 和(5-
)这两个数字似乎是问题的答案。尽管他写下了
这样的数字，但他本人和同期数学家都无法理解这个数字意味着什么。
1629年，荷兰数学家吉拉德（Albert Girard，1595－1632）断言“n次多项式方程都有n个根”，包括负根和“不可解数”（虚数）。这就是今天代数基本定理的雏形。后来，法国数学家笛卡尔（René Descartes，1596-1650）提出了相同的论断，并在此基础上正式引入了“虚数”这一术语。顾名思义，“虚数”意味着“想象中的数”。从取名中不难发现笛卡尔对虚数充满着质疑。
1777年，瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler，1707－1783）在论文中首次引入了虚数符号：i=
。从18世纪开始，虚数开始被广泛地用于解决各种函数问题，经过高斯（Carl Gauß，1777－1855）、哈密顿（William Hamilton，1805－1865）等数学家的不断完善，复数理论逐渐形成了一整套完备的理论体系[3]。
图1. 左图：卡尔达诺，第一个正式提出虚数概念的数学家；中图：笛卡尔，第一个给虚数命名的数学家；右图：欧拉，第一个正式定义虚数的数学家。图源：维基百科
然而，直到量子力学出现，虚数都还停留在数学领域，并未真正进入到物理学中。原因是：所有的可观测量都必须是实数，复数没有办法被直接观测到。
实际上，在经典理论中很多场景使用到了复数（譬如，电动力学中对电磁波的描述就使用了复数），但这些仅仅是为了数学上的简洁和计算上的便利。换句话说，在这些经典理论中，复数的引入并非必须项——仅仅使用实数也完全够用。杨振宁先生在《20世纪数学与物理的分与合》一文中如是说：“i在量子力学以前也出现过，可是不是基本的，只是一个工具。到了量子力学发展以后，它就不只是个工具，而是一个基本观念了。为什么基础物理学必须用这个抽象的数学观念，虚数i，现在没有人能解释”[4]。
1926年，薛定谔（Erwin Schrodinger，1887－1961）提出了以他的名字命名的方程，方程中有个大大的虚数单位i。使用薛定谔方程计算得到氢原子光谱与实验观测高度吻合，薛定谔方程大获成功，这份成功的喜悦令人们短暂地忘记了虚数这个在数学结构上看上去“不太完美”的东西。
最早对虚数的引入产生质疑的恰恰是薛定谔本人。在薛定谔方程提出的同年，在写给洛伦兹的信中，薛定谔表达了自己的焦虑——“这里（指的是薛定谔方程）最令人不安的是复数的使用，从原理上讲，波函数Ψ应该是实函数”。薛定谔留下的大量手稿表明，他一直在寻找一个只有实数版本的波动方程。
实数量子力学（Real Number Quantum Mechanics）是否真的可行呢？
早期研究回顾
众所周知，一个复数对应复平面上的一个向量，包含一个实部和一个虚部。因此，构建实数量子力学的朴素方法是：用两个实数等价替换掉对应的实部和虚部。
1934年，约尔当（PascualJordan，1902－1980）、魏格纳（EugeneWigner，1902－1995）和冯·诺依曼（John von Neumann，1903－1957）利用代数的方法搭建起基于实数量子力学的基础框架。之后，在60年代瑞士物理学家恩斯特·施蒂克尔贝格（Ernst Stueckelberg，1905－1984）将其进一步发展：他成功地把d维的复数表示拓展到了2d维的实数表示，并发展了一套数学技巧，在实数域中实现了绕虚轴转动这样看上去只能在复平面上的操作。
从形式上讲，从基于复数的量子力学（为了加以区分，后文统称“标准量子力学”）变换到基于实数的量子力学（后文统称为“实数量子力学”），只需要对密度矩阵和哈密顿量算符做如下变换：
其中，|±i⟩=(|0⟩±i|1⟩)/
。不难证明，经过变换得到的密度矩阵
和哈密顿量
全部都是实数域的。同理，标准量子力学基于的四个假设可以非常自然地推广到实数量子力学中。2008年和2009年，两个研究团队通过计算经典贝尔实验中贝尔不等式的最大违背数，证明了实数量子力学与标准量子力学的等价性[5, 6]，使人们对实数量子力学又增加了一份信心。
那么，实数量子力学是否能在任何场景下都能和标准量子力学保持一致？或者说，当两者不一致时，孰对孰错呢？
贝尔实验与实数量子力学的“死刑”
1935年，爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）、波多尔斯基（Boris Podolsky，1896－1966）和罗森（Nathan Rosen，1909-1995）提出了著名的EPR佯谬，向量子力学的完备性发起挑战。1964年，贝尔（John Stewart Bell，1928－1990）基于玻姆（DavidBohm，1917－1992）的定域隐变量理论，推导出了特定纠缠态上关联测量满足的基本不等式，被称为贝尔不等式。1969年，克劳泽（John Clauser，1942－）、霍恩（Michael Horne，1943－2019）, 希莫尼（Abner Shimony，1928－2015）和（Richard Holt，据说后来不搞物理了）四位物理学家给出了一个更便于在实验上检验的版本——CHSH不等式（CHSH分别取自四位的姓氏），是贝尔不等式的特殊情况。
在传统贝尔实验中，有两位分别叫作Alice和Bob的观测者（之所以取这个名字是因为两人的首字母分别是A和B）。在Alice和Bob中间有一个EPR纠缠对，这个纠缠对由2个1/2-自旋粒子组成。这样，Alice观测的第一个粒子就存在两种可能性——自旋向上或者向下（为了不失一般性，把Alice观测的结果记作A和A’）。Bob观测的第二个粒子同样具备两种可能性，把Bob观测的结果记作B和B’。
图2传统贝尔实验示意图。图源：参考文献[7]
定义Alice观测到A，同时Bob观测到B的关联函数E(A,B)；同理，可以定义E(A,B’),E(A’,B)和E(A’,B’)，并把这四个关联函数组合成S：
S=E(A,B)+E(A,B')+E(A',B)-E(A',B')
利用经典隐变量理论给出S的绝对值不大于2，即|S|≤2。量子力学给出的上限值则是2
（~2.828），这一上限又被称为齐雷尔森界（Tsirelson bound）。
由于在实际实验中粒子极化率无法做到完美的100%，因此实验中测量的S数值为2.697 ±0.0515[8]。这一结果表明，经典理论完全失效，量子力学大获全胜。
贝尔不等式的验证（或者说贝尔不等式违背），彻底否定了局域隐变量的理论，直接揭示了量子力学的基本特征——量子非定域性（non-locality）[9]，这也是人类首次触摸到了类空距离上的“鬼魅”长程量子关联。关于贝尔不等式的研究工作，在2022年被授予了诺贝尔物理学奖，前文中提到的克劳泽是获奖人之一（再一次印证了在得诺贝尔奖这件事上，活得久是非常重要的）。
既然贝尔实验可以检验经典理论和量子理论的有效性，一个天然的想法是贝尔实验是否可以用来检验实数量子力学的正确性？不过，实数量子力学理论给出了和标准量子力学相同的CHSH上限值，换言之，传统的贝尔实验无法用来检测实数量子力学的正确性。
2021年，8位研究人员在《自然》杂志上发表了一篇论文[7]。这篇文章创新性地提出了一个思维实验，这个实验可以看作传统贝尔实验的改进版。在这个思维实验中，使用2个EPR纠缠对和三名观察者：Alice、Bob和Charlie。在Alice和Bob之间、Bob和Charlie之间各形成一个EPR纠缠对（见图3）。在Bob这里会形成贝尔态，该贝尔态有四种可能性。
图3进阶版贝尔实验原理图。图源：参考文献[11]
在该体系下，仿照传统贝尔实验中CHSH的定义，给出一个类似的定义：
标准量子力学计算出的CHSH3最大值为6
（即传统贝尔实验CHSH数值的3倍），但使用实数量子力学计算得到数值仅为7.66，而经典力学给出的CHSH3最大数为6。显然，这是一个非常适合用来检验标准量子力学和实数量子力学正确性的实验。
图4在上述体系中，实数量子力学给出的CHSH3上限值为7.66，介于经典理论和标准量子力学给出上限值之间。图源：参考文献[11]
不久之后，两支来自中国的科研团队实施了这套实验方案。南方科技大学范靖云团队利用光学的实验方法搭建了实验平台[10]，结果显示：纠缠光子之间的相关性远远超过了实数理论所允许的上限。这表明复数在描述量子态时是不可或缺的。而中国科学技术大学潘建伟团队则超导量子比特开展了此项实验[11]。实验测量出CHSH3值为8.09, 小于标准量子力学给出的6
（约8.49）上界，大于实数量子力学给出上限值7.66（见图5）。
这一实验结果就像他们论文标题一样醒目：Ruling out real-valued standard formalism of quantum theory（推翻量子力学的实数版本），实数量子力学被潘建伟和范靖云的两个实验判了个“死刑”。
图5潘建伟团队实验中测得的CHSH3比实数量子力学计算给出的上限值还要大，实验精度超过43个标准差。图源：参考文献[11]
值得一提的是，这两个来自中国的研究团队凭借对实数量子力学的检验实验，成功入选了2022年国际物理学领域十大进展[12]。
就在人们以为实数量子力学将永无出头之日时，事情在2025年发生了翻转。
死刑？死缓？
这份转机并非来自新实验结果的出现或者原有实验被推翻，而是来源于研究人员发现：原本的实数量子力学在计算CHSH3上限值中出现了错误。这个错误不是来自科研人员的计算失误，而是早期的实数量子力学理论本身确实存在一些问题。
图6左上起：Michael Epping、Dagmar Bruß、Anton Trushechkin、Hermann Kampermann 和 Pedro Barrios Hita。这5名科研人员使用修正后的实数量子力学方法计算出了和标准量子力学一致的CHSH3上限值。图源：参考文献[1]
2025年3月，5名德国研究人员（作者见图6）在arXiv网站上挂出了一篇文章[13]，在文章后长达15页的附录中，他们重构了实数版量子力学并用重构后的版本计算出了和标准量子力学一致的CHSH3上限值；同年，2名法国研究人员（作者见图7）同样在arXiv网站上挂出一篇文章[14]，以另外一种方式重写了实数版量子力学。
图7 左图为文献[14]的第一作者Timothée Hoffreumon，右图为文献[14]的第二作者Mischa Woods。图源：参考文献[1]
尽管两篇论文数学出发点略有不同，但都同时注意到了早期实数量子力学框架的致命缺点：标准量子力学满足“表示局域性”的（representation-local），但原来的实数量子力学不具备这样的性质。
图8 表示局域性示意图。当两个没有相互作用的体系中的一个体系受到影响或者发生变化时，另外一个体系如果不发生变化，那么这样的理论描述就具备表示的局域性，反之则不具备。
何为“表示局域性”？以图8为例：假设存在两个完全独立的量子系统，左右两个系统分别处于为ρ量子态和σ量子态，此时整个系统可表示为ρ⨂σ。
当左侧体系发生变化时（比如一束激光打过来），左体系由量子态ρ变成量子态ρ'，其数学表示为ρ'=h(ρ)。由于左右两个体系之间不存在相互作用，因此右体系仍处于σ量子态，此时整个系统可表示为ρ'⨂σ=h(ρ)⨂σ。如果一个理论满足此性质，那么这样的理论描述就具备表示局域性。标准量子力学可做到这一点，但早期的实数量子力学就无法做到——在早期实数量子力学框架中，由于直接套用了标准量子力学中的张量积规则定义，导致在描述这样的系统时，必须使用h'(ρ⨂σ)才能描述变化后的体系。也就是说，都是张量积运算⨂使得实数量子力学出现了表示不定域的现象。正是这个原因导致了在进阶版的贝尔实验中，实数量子力学给出了与标准量子力学不一致的计算结果。
为了解决这个问题，两个研究团队都在实数域中对标准张量积（Tensor Product）进行改写，最终有效地解决实数量子力学的表示局域性问题。张量积的改写过程涉及较为深奥的数学知识，我们打个比方来试图理解整个过程：在平直空间内，直角三角形的三条边长遵循勾股定理，即a2+b2=c2，但是这样的规律在非平直空间中完全失效（非欧几何）。换句话说，勾股定理只是直角三角形在平直空间的一种特殊情况而已。
张量积的本质是矢量组合的运算规则，张量积的运算规则可以保证复数域内量子力学的表示局域性，但不能保证其在其他数域（比如实数域）的表示局域性，就像勾股定理虽然在平直空间有效，但在非欧空间中失效一样。要保证其他数域下表示局域性就不能生搬硬套张量积在复数域中运算法则，而是需要找到通用的矢量组合规则。因此，来自德国和法国的两个科研团队分别在实数域内创造出了不同的矢量-矢量组合规则，重新构建了实数值量子理论。这些理论能够满足表示局域性，并且给出了与标准量子理论完全相同的预测结果。
图9 文献[13]的最后，通过重新构建的实数量子力学计算出了进阶版贝尔实验的CHSH3上限值为62，与标准量子力学计算得到的结果完全一致。
图10 多体实数量子力学与多体标准量子力学的对应映射关系图
顺便说一句，文献[13]深入讨论了当多体量子理论从复数变化到实数时，维度增多了——原来的d维空间变成了2d维空间。多出来的维度可通过U(1)全局对称性消除掉。因此，多体实数域的希尔伯特空间的商空间和标准复数域的希尔伯特空间是完全同构的。
结语
2025年出现在arXiv上的两篇论文修正了原本实数量子力学理论框架的问题，并给出和标准量子力学一致的CHSH3上限值。
经过此番修正，实数量子力学是否在任何情况下都可以达到与标准量子力学完全一致的计算结果？是否存在更进阶版本的贝尔实验（比如实验中引入3个或者更多的EPR纠缠对）来否认当前的实数量子力学理论体系呢？换句话说，这样的修正是否只是一次小修小补，当前的理论体系仍旧存在着巨大的bug？
或者，一种更加形而上学的观点是：即便人类找到了与标准量子力学完全等价的实数版本的量子力学，发现复数版本的量子力学更加简明扼要，最后仍旧免不了要以复数版本的量子力学为准，那么对实数量子力学的探索和寻找是不是本身就是徒劳的呢？对量子力学基础的探索路途仍然遥远，让我们拭目以待吧。
参考文献
[4] 杨振宁，20世纪数学与物理的分与合, 环球科学, 第10 期, (2008)
[5] Károly F. Páland Tamás Vértesi，Efficiency of higher-dimensional Hilbert spaces for the violation of Bell inequalities, Phys. Rev. A 77, 042105(2008)
[6] Matthew McKague, Michele Mosca, Nicolas Gisin,Simulating Quantum Systems Using Real Hilbert Spaces, Phys. Rev. Lett. 102,020505(2009)
[8] S. Weinberg,Lectures on Quantum Mechanics.Cambridge: Cambridge University Press. (2013).
[9] 崔廉相，许康，张芃，孙昌璞，贝尔不等式的量子违背及其实验检验——兼议2022 年诺贝尔物理学奖，物理，52卷（2023）
[10] Zheng-Da Liet al, Testing Real Quantum Theory in an Optical Quantum Network, Phys. Rev. Lett. 128, 040402 (2022).
[11] Ming-Cheng Chenet al, Ruling Out Real-Valued Standard Formalism of Quantum Theory,Phys. Rev. Lett. 128, 040403 (2022).
[12] 美国物理学会（APS）旗下的Physics网站公布评选出的2022年物理领域十项重大进展：https://physics.aps.org/articles/v15/197
[13] P.B. Hitaet al,Quantum mechanics based on real numbers: A consistent deion,arXiv:2503.17307(2025)
[14] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complex numbers, arXiv:2504.02808(2025)
作者简介
一根弦，中关村文理学院非优秀毕业生。博士期间主业发展原子核集体激发态理论，副业打听八卦新闻。因帝都房价高企加上错信IT高薪传闻，误入码农行列，逃离北京来到卷都杭州。除全职工作外，分别在知乎以“一根弦”和在B站以“一根弦肥二”的网名挖掘和写作物理学家，并以此为乐。返回搜狐，查看更多