为什么说电动力学是天生洛伦兹协变的？麦克斯韦方程组可以完全用协变的洛伦兹张量来表达吗？数学的发展如何帮助改写和理解物理定律？
8月18日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了麦克斯韦方程组的矢量形式及电磁张量的定义，接着验证了麦克斯韦方程中的高斯定律和安培-麦克斯韦定律可以统一地表达为电磁张量的散度公式。其后，注意到电磁张量有内禀约束，张朝阳验证了方程组中剩余两式即等价于电磁张量的比安基恒等式。综合二者，矢量的方程组最后可以被表达为两条张量方程，从中不难看出理论是洛伦兹协变的，并可方便地与广义相对论结合。
从矢量形式到张量形式
进入十九世纪，在声学、光学、热学、力学、电学和磁学等各方面的实践积累后，理论物理学迎来了牛顿时期后的又一个高峰。其中最耀眼的明珠莫过于以英国物理学家麦克斯韦命名方程组
以修正后的安培定律为基础，麦克斯韦用漂亮的数学表达，将过往百年间电与磁的成果，总结到一页纸上。紧接着，麦克斯韦从中导出了电磁场的波动方程，并发现这类波的传播速度
在数值上竟恰等于光速。基于这一结果，麦克斯韦断言，光的本质竟是电磁波。就这样，电与磁与光以一种意想不到的形式，被统一到同一个理论框架中。
回顾历史会发现，从麦克斯韦开始的一连串的进展，大多源于物理学家对数学工具的熟练运用。张朝阳谈到：“有时物理思考难以为继的时候，数学会领着我们继续向前。”将物理定律表达为不同形式，往往能够开阔思路。且一个更好、更简洁的数学形式，能够去理解和拓展定律的物理内涵。正如在麦克斯韦的年代，方程组事实上由近二十条方程组成。直到人们熟练掌握了矢量微积分形式，用归类为“三层楼”的标量和矢量表述了麦克斯韦的思想。这里“三层楼”指：
每求一次导数，就可以上一层楼，如由麦克斯韦方程组，电磁场的求导即使电荷密度与电流。而对标势和矢势求导，有
有了矢量微积分，才有了当前简洁而优美的四条方程的形式。
然而更令人惊奇的是，虽然发表于十九世纪，但是这一方程组却是超越时代的理论。麦克斯韦方程组与牛顿力学有内在的矛盾，因为它天生具有四维时空的洛伦兹协变性——这正是相对论基础。在矢量微积分的数学形式下，这种协变性事实上被隐藏起来了，直到洛伦兹和庞加莱敏锐地发现了它。为了更好地表达整个电动力学的协变性，在上节课中，张朝阳在第一层和第三层分别引入了两个四维矢量
并在取洛伦茨规范后，证明了电磁波的达朗贝尔方程可以表达为电磁张量（Electromagnetic tensor）
求散度的形式
事实上，不依赖于规范的选取，这一式子本身是普遍成立的。不难证明（详见《张朝阳的物理课》第二卷），四矢势能A，电磁张量F，和四电流J都是洛伦兹协变的。此即麦克斯韦方程的张量形式。比起矢量形式，张量形式下的方程组更为简洁，也天生地更与狭义相对论相适配。
（张朝阳回顾电磁张量的定义）
电磁张量的物理内涵
为了得到洛伦兹协变的数学形式，从方程出发人们察觉到需要引入电磁张量这一定义。那么电磁张量的具体物理意义是什么？为了理解这一点，来具体研究一下电磁张量F的形式，再尝试着能否从张量形式重新导出矢量形式，以验证二者的一致性。
首先如果用矩阵的形式表达，电磁张量F应当是一个4×4的矩阵。按照定义，F的两个指标α、β是反对称的——也即矩阵应该是转置反对称的。这样一来，立刻可以得知4×4矩阵中对角线上只能取到0
再看第一行第二列的元素，也即是张量的F^{01}分量。按照定义，有
其中运算第二个等号的时候，用到了以度规升降指标的技巧
经过类似的计算过程，可以证明
为叙述简洁起见，详细的计算过程在这里不再赘述。
再计算
最后一个等号利用了矢势求旋度等于电场这一定义，即
类似地还可以求出
因为电磁张量F是反对称的，事实上它仅有所求的六个独立自由度，对应的整个矩阵可以填充为
不难发现，如果在用“三层楼”的观点，电磁张量应被归类为在第二层，E和B是同一个类型——这也是其名称的来源。有了电磁场张量的逆变形式，利用度规，可以很方便地求得它的协变形式。形式上，它可以通过交换第一行和第一列实现，即
有了电磁张量各分量地具体形式，可以尝试将式(2)也按各分类显式地表达出来，以期验证它是否真的能与麦克斯韦方程组(1a)~(1d)等价。首先在式(2)中取β=0，即得到
而左边，展开写是
于是就回到了高斯定律(1a)
当β取1时，方程即为
左边
与电场有关的第一辆可以挪等号右边去，而与电场相关的两项，其实是对磁场求旋度之后的x分量。对β=2，3也会有类似的计算过程和结论。总结起来，β=1，2，3的三条方程可以总结为
此即安培-麦克斯韦定律(1d)。
不难看到，电磁张量的散度方程描述了电磁场及的关系，恰好可以复原到麦克斯韦方程组中的四条矢量方程中的两条。
（张朝阳验证电磁张量的散度公式与麦克斯韦方程组的对应关系）
电磁张量的内禀约束
一个自然的问题是，目前只得到了麦克斯韦方程组中的两条方程，那剩下的一半：(1b)和(1c)呢？它们也可以用张量形式来表达吗？它们有什么特殊的物理内涵？
事实上，(1b)和(1c)描述的并非是电磁场是如何由作为源的物质发生和相互作用的。相反，它表达的是电磁场E和B之间天生具有的相互约束。事实上，张量形式才能更好理解这一点。电磁张量F在数学上有曲率的意义，任意的曲率都需要满足比安基恒等式（Bianchi identity），即取三个指标α、β、γ，它们可以是0，1，2，3中任意三个不同的数，于是
其中每一项，都是前一项三个指标在保持α、β、γ顺序的前提下，向左仅为得到的。上面的式子一般又简写为
直接代入电磁张量的定义也能方便地验证这一等式。
首先计算一下α=1、β=2、γ=3的情况，方程左边
此即求磁场B的散度，于是得到麦克斯韦方程组中的式(1c)。而令α=0、β=1、γ=2时，等号左边是
后面两项即可以写成为求电场的旋度，所以方程事实上等价于
此即法拉第电磁感应定律(1b)。如果在该式在两边对某个封闭曲面积分，可以得到高中物理课本中的楞次定律，描述了“电生磁、磁生电”的现象。
（张朝阳验证电磁张量的比安基恒等式与麦克斯韦方程组的对应关系）
到此已经证明了：矢量形式的麦克斯韦方程组(1a)~(1d)，可以写成利用二阶电磁张量改写为两条张量恒等式
前一条是电磁张量的散度方程，后一条是电磁张量内禀的约束。张朝阳提示，利用张量形式不仅可以很方便地看到和验证电动力学的洛伦兹协变性，而且它为电动力学进一步与广义相对论结合提供了导向——毕竟张量分析正是处理（赝）黎曼几何或者说弯曲时空最佳的数学工具。当电磁场所处的时空中有相大质量的物体存在时，必须考虑它与引力共存的情形。庆幸的是，在后面将看到，电动力学与广义相对论是完美相容的。后者实现后，“电动力学才终于找到了它真正的故乡”。返回搜狐，查看更多
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