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《张朝阳的物理课》解析山东高考物理压轴题

6月30日,《张朝阳的物理课》二百一十五期开播,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇直播间开启讲题模式,从解微分方程的角度解析2024年山东高考物理卷压轴题,给广大高中学子解电磁学难题打开了新世界的大门。

问题描述

如图所示,在Oxy坐标系x>0,y>0区域内充满垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,角OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在

的范围内可以产生质量为m,电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场,加速电压大小可调。粒子经此电场加速后进入磁场,挡板厚度不计,粒子可沿任意角度穿过小孔,碰撞挡板的粒子不予考虑,不计粒子重力及粒子间相互作用力。

(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压

(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;

(3)当加速电压为

时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标。

题目示意图

张朝阳介绍解读题目

第一问和第二问解题步骤

“对于第一问题和第二问题快速走过”,张朝阳说,“这是帮助你在算一算的过程中,对整个问题有所了解。”

第一问中,粒子从粒子加速器中出来,经过加速电压之后,垂直入射到磁场区域,即垂直于y轴,再垂直从小孔K出射,即垂直于MN,如图所示。可以直观看到这就是一个几何问题。

粒子入射到磁场区域后,洛伦兹力充当向心力,因此

得带电粒子的半径为

从下图中可以看到,此时粒子运动的半径为L/2,即有

解得带电粒子的速度为

加速电场中满足动能定理

由此解得加速电压为

张朝阳计算第一问的结果

第二问分成两个部分,首先要求最小的速度,粒子在此速度下从小孔K射出去,接着在洛伦兹力和电场力的作用下平衡,电荷以匀速的方式在第一象限中运动。通过这两个步骤,可分别求出在经过加速电压后的速度大小,以及从从小孔K射出去之后电场的方向及大小。

从第一问求出的结论

可知速度越小半径越小。经过加速电压之后,为了保证能够从小孔K出射以及入射垂直于y轴,为了使半径最小,只有如图所示的情况才能满足这三个条件。此时圆的半径可由几何条件得出

确定最小半径

张朝阳推导最小半径

与上式结合,可求出在三角形区域△OMN内的速度大小为

从小孔K 出射时,方向沿y轴正方向。由动能定理,同样可得到加速电压的大小为

此刻的加速电压比第一问中的小,为其1/4。当从小孔K 出射时,会产生一个沿着x轴负方向的洛伦兹力,而根据题意,需要一个沿着x轴正方向的电场力才能使粒子保持力平衡,让其沿着y轴正方向做匀速运动,电场强度的大小为

这里我们用了电场力和洛伦兹力平衡的条件以及上面计算出的速度大小。因此这个电场强度的大小为

方向沿着x轴正方向。

确定电场方向

第三问

第三问中给出的加速电压为

此电压加速粒子,粒子得到的速度大小介于第一问和第二问之间。由动能定理得入射到三角形区域的速度大小为

在三角形OMN 区域洛伦兹力提供向心力,由第一问可知运动的半径为

代入速度大小的表达式得

如图所示,我们计算出射时θ为锐角时的情况。从图中的几何关系可以看到

由此可得角度θ为

上面已经计算出速度大小为

粒子以此速度从小孔K出射出去,此时我们定义为t=0时刻。由此可得初始位置和初始速度为

将洛伦兹力写成分量形式:

则通过牛顿第二定律

三个分量给出三个方程

对于z方向,我们有

而对另外两个方程再关于时间t求导,得到

其中我们代入了第二问求出来的电场强度大小

第一个方程这与谐振子方程一致,第二个方程可通过变换

同样可以化成谐振子方程

两个方程的解为

其中圆频率ω为

常数

为待定系数。由加速度关系

得到

在t=0时,化简为

此外,初始速度条件为

因此这些常数为

也就是说

再积分可得位置

由初始位置得到

从中可以看出离y轴最近的距离为

张朝阳用解微分方程的方法计算出第三问的结果

如下图所示,此为粒子的轨迹图。

粒子轨迹图

实际上,按照高中的方法,这一题可以用配速法分解运动求解。我们看到初始速度

其中y轴方向的速度产生的洛伦兹力正好与x轴方向的电场抵消,这也是第二问的结论。那么这个粒子将沿y轴正方向做匀速直线运动。而x轴方向的速度会使粒子做沿着x轴方向的简谐运动。这个运动的振幅正好等于x轴方向的速度产生的洛伦兹力所做的圆周运动半径,即

最后,加上x轴方向的初始位置

可以得到离y轴最近的距离为

张朝阳用高中的方法求解第三问

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