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星球内部的爱因斯坦场方程是怎样的?《张朝阳的物理课》推导TOV方程

在球对称星球的内部爱因斯坦场方程是怎样的?其求解过程与真空情况有什么不同?描述球对称星球内部压强分布的TOV方程是怎样推导出来的?

5月5日12时30分与5月12日12时,《张朝阳的物理课》第二百一十期和第二百一十一期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先复习了一般情况下的爱因斯坦场方程、静态球对称情况下的能动张量以及由能动量守恒所导致的约束关系,然后介绍二阶张量的指标升降关系,并由此得到爱因斯坦场方程的一个更简洁的形式。

在此基础上,张朝阳将静态球对称度规的一般形式代入爱因斯坦场方程,并由此得到了与度规一般形式有关的两个函数的方程,借此推导出了描述静态球对称星球内部压强分布的TOV方程。经过检验,在牛顿极限下TOV方程会成为行星内部的流体静平衡方程。

复习能动张量的形式 度规用于张量的指标升降

在之前的物理直播课中,张朝阳介绍了一般情况下的爱因斯坦场方程为

张朝阳强调,其中的R是标量曲率,不要把它理解成常数,实际上它是一种标量场,在时空每一点处都对应着一个标量值。上式等号左边是爱因斯坦张量G^{αβ},等号右边的T是能动张量,对于理想流体,T为

在静态球对称情况下,能动张量可以被写为

由于爱因斯坦张量满足∇·G=0,因此有∇·T=0,这其实表示能量、动量守恒,可以通过散度的几何意义来说明这一点。根据∇·T=0,在静态球对称情况下可以得到

不过,在静态球对称情况下,只有β=1(对应于径向坐标r)时上式才能给出有意义的结果,β取其他三个值的方程都是形如0=0的平方方程。取β=1后,张朝阳得到

前面介绍的爱因斯坦场方程是上指标的,实际上还存在下指标的形式:

除此之外,还有一个指标在上,另一个指标在下的形式。在介绍这个形式之前,张朝阳向大家介绍起了怎么给张量升降指标。这就需要从以前介绍过的上下基矢开始讲起:

它们与度规的关系为

从这些关系可以知道度规g对一阶张量具有升降指标的作用,举例来说,有

由此可见,U_β经过与g^{βα}缩并之后,其指标升上去了,变成了U^α。同样可以证明,一阶张量与g_{αβ}缩并可以降指标。这些在之前的物理直播课中都有介绍,感兴趣的读者可参见以往的物理直播课回放视频。

如果是二阶张量,甚至是更高阶的张量,还能不能用度规来升降指标呢?答案是可以的。以二阶张量T为例,它可以按基矢的张量积进行展开:

其中,等号右边省略了张量积符号。从上式可以得知,对于任意一个二阶张量T,必定存在多对一阶张量(U_i,V_i),满足

需要注意的是,式中的下标i不是张量指标,而是普通的指标,仅用于区分各对不同的一阶张量(U,V)。比如当只有一组(U,V)时,就是

不过一般的二阶张量并不能写成一对一阶张量的直积,比如有的二阶张量需要两对一阶张量才行(有些二阶张量需要更多对):

这时候可以引入指标1和2来区分(U,V)和(W,X),于是就得到

总而言之,指标i仅仅用于区分直积线性组合中的各对一阶张量,它不是张量指标。为了和指标i做区分,在下文将使用希腊字母来表示张量指标。由张量T的直积展开式可以知道

借助这些式子,根据度规对一阶张量的升降指标作用,立即可以知道它对二阶张量的升降指标作用是一样的,比如

可见,g^{αβ}对二阶张量有升指标的作用。g_{αβ}对二阶张量的降指标作用也可以类似地证明。

(张朝阳借助特殊形式的张量证明度规的升降指标作用)

将度规的上指标分量与下指标的爱因斯坦场方程进行缩并,即可得到一上一下指标的爱因斯坦场方程:

由于R与能动张量T都是对称张量,满足

这意味着在一上一下指标的情况下不用区分R和T两个指标的前后顺序,这就是在一上一下指标的爱因斯坦场方程中,上下指标处在同一列的原因。这个性质对于非对称张量是不成立的,这种情况下必须对下面两个张量分量做严格区分:

利用静态球对称度规形式 推导TOV方程

在求解史瓦西真空解的时候,张朝阳就给出过静态球对称度规的一般形式,用线元来表示就是

线元中的度规分量都是下指标的,由此可知

将其代入前面的式(1)可得

接下来还需要求出A对r的偏导数才行,这需要利用爱因斯坦场方程。为了简洁起见,下面将用撇号表示对r的导数,并且将A(r)和B(r)简写为A和B。根据以前求史瓦西真空解时所得结果(也可参见梁灿彬老师的《微分几何与广义相对论》上册):

由此可以得到

于是,标量曲率为

对于接下来的推导,张朝阳选择了一上一下指标的爱因斯坦场方程,这是因为在这种形式的场方程中,第二项的度规直接就是克罗内克符号δ,因此形式简单,同时,能动张量也会变得很简单。考虑00分量,有

这个方程不包含A,因此便于求解B。上述方程经过变形可得

等号左边最开始两项刚好可以凑成一个函数的导数,由此得到

于是

其中C₁是积分常数。在上式等号两边同时让r趋向于零,容易知道C₁=0。因此

观察第二行的那个积分,它很像是半径r之内的总质量,将其定义为

于是得到

需要注意的是,m(r)并不严格等于半径r内的物质质量,这是因为此时的空间是弯曲的,相应的体积元不是简单的4πr²dr。与真空史瓦西度规做对比:

其中r_s=2GM为史瓦西半径。可以知道,在星球的表面r=r_b处,度规的衔接条件会导致

这意味着

正如m(r)不等于半径r内的物质质量,在史瓦西度规中,M也不等于星球的总的静止质量。

继续回到爱因斯坦场方程,接下来需要求出A,或者求出dA/dr,为此,考虑场方程的11分量,得到

于是

将其代入前面的式(2),即可得到著名的TOV方程:

TOV方程描述的是广义相对论中静态球对称星球内部的压强分布,具有非常广泛的应用。不过,要想完整求解星球内部的压强分布,除了TOV方程之外,还需要知道星球物质的物态方程,其决定了物质密度与压强之间的关系。

TOV方程的牛顿极限

在直播课的最后,张朝阳展示了TOV方程的牛顿极限。在推导TOV方程的时候,张朝阳采用了光速c=1的单位制,如果要想比较各个量的大小,一种方法是将TOV方程改写为国际单位制下的形式,这相当于在TOV方程中补回光速c。对于(p+ρ),改回国际单位制之后为

对于低速/低能情形,有p远小于ρc²。在c=1的单位制中相当于说,在低速情况下,p远小于ρ,因此可以忽略不计。另一方面,因为

因此,4πGpr³相比于Gm(r)来说也可以忽略不计。

进一步地,2Gm(r)其实是m(r)对应的史瓦西半径,对于非致密性星体,其史瓦西半径都远远小于星球半径,因此2Gm(r)相比于r来说也可以忽略不计。

综上所述,TOV方程在牛顿极限下为

这正是以前介绍过的恒星内部流体静平衡方程,来源于星球内部压强与牛顿万有引力之间的平衡条件。由此可见,爱因斯坦的引力理论在低能情况下确实会退化为牛顿的引力理论。

(张朝阳展示TOV方程的牛顿极限)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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