在球对称星球的内部爱因斯坦场方程是怎样的？其求解过程与真空情况有什么不同？描述球对称星球内部压强分布的TOV方程是怎样推导出来的？
5月5日12时30分与5月12日12时，《张朝阳的物理课》第二百一十期和第二百一十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先复习了一般情况下的爱因斯坦场方程、静态球对称情况下的能动张量以及由能动量守恒所导致的约束关系，然后介绍二阶张量的指标升降关系，并由此得到爱因斯坦场方程的一个更简洁的形式。
在此基础上，张朝阳将静态球对称度规的一般形式代入爱因斯坦场方程，并由此得到了与度规一般形式有关的两个函数的方程，借此推导出了描述静态球对称星球内部压强分布的TOV方程。经过检验，在牛顿极限下TOV方程会成为行星内部的流体静平衡方程。
复习能动张量的形式 度规用于张量的指标升降
在之前的物理直播课中，张朝阳介绍了一般情况下的爱因斯坦场方程为
张朝阳强调，其中的R是标量曲率，不要把它理解成常数，实际上它是一种标量场，在时空每一点处都对应着一个标量值。上式等号左边是爱因斯坦张量G^{αβ}，等号右边的T是能动张量，对于理想流体，T为
在静态球对称情况下，能动张量可以被写为
由于爱因斯坦张量满足∇·G=0，因此有∇·T=0，这其实表示能量、动量守恒，可以通过散度的几何意义来说明这一点。根据∇·T=0，在静态球对称情况下可以得到
不过，在静态球对称情况下，只有β=1（对应于径向坐标r）时上式才能给出有意义的结果，β取其他三个值的方程都是形如0=0的平方方程。取β=1后，张朝阳得到
前面介绍的爱因斯坦场方程是上指标的，实际上还存在下指标的形式：
除此之外，还有一个指标在上，另一个指标在下的形式。在介绍这个形式之前，张朝阳向大家介绍起了怎么给张量升降指标。这就需要从以前介绍过的上下基矢开始讲起：
它们与度规的关系为
从这些关系可以知道度规g对一阶张量具有升降指标的作用，举例来说，有
由此可见，U_β经过与g^{βα}缩并之后，其指标升上去了，变成了U^α。同样可以证明，一阶张量与g_{αβ}缩并可以降指标。这些在之前的物理直播课中都有介绍，感兴趣的读者可参见以往的物理直播课回放视频。
如果是二阶张量，甚至是更高阶的张量，还能不能用度规来升降指标呢？答案是可以的。以二阶张量T为例，它可以按基矢的张量积进行展开：
其中，等号右边省略了张量积符号。从上式可以得知，对于任意一个二阶张量T，必定存在多对一阶张量(U_i,V_i)，满足
需要注意的是，式中的下标i不是张量指标，而是普通的指标，仅用于区分各对不同的一阶张量(U,V)。比如当只有一组(U,V)时，就是
不过一般的二阶张量并不能写成一对一阶张量的直积，比如有的二阶张量需要两对一阶张量才行（有些二阶张量需要更多对）：
这时候可以引入指标1和2来区分(U,V)和(W,X)，于是就得到
总而言之，指标i仅仅用于区分直积线性组合中的各对一阶张量，它不是张量指标。为了和指标i做区分，在下文将使用希腊字母来表示张量指标。由张量T的直积展开式可以知道
借助这些式子，根据度规对一阶张量的升降指标作用，立即可以知道它对二阶张量的升降指标作用是一样的，比如
可见，g^{αβ}对二阶张量有升指标的作用。g_{αβ}对二阶张量的降指标作用也可以类似地证明。
（张朝阳借助特殊形式的张量证明度规的升降指标作用）
将度规的上指标分量与下指标的爱因斯坦场方程进行缩并，即可得到一上一下指标的爱因斯坦场方程：
由于R与能动张量T都是对称张量，满足
这意味着在一上一下指标的情况下不用区分R和T两个指标的前后顺序，这就是在一上一下指标的爱因斯坦场方程中，上下指标处在同一列的原因。这个性质对于非对称张量是不成立的，这种情况下必须对下面两个张量分量做严格区分：
利用静态球对称度规形式 推导TOV方程
在求解史瓦西真空解的时候，张朝阳就给出过静态球对称度规的一般形式，用线元来表示就是
线元中的度规分量都是下指标的，由此可知
将其代入前面的式(1)可得
接下来还需要求出A对r的偏导数才行，这需要利用爱因斯坦场方程。为了简洁起见，下面将用撇号表示对r的导数，并且将A(r)和B(r)简写为A和B。根据以前求史瓦西真空解时所得结果（也可参见梁灿彬老师的《微分几何与广义相对论》上册）：
由此可以得到
于是，标量曲率为
对于接下来的推导，张朝阳选择了一上一下指标的爱因斯坦场方程，这是因为在这种形式的场方程中，第二项的度规直接就是克罗内克符号δ，因此形式简单，同时，能动张量也会变得很简单。考虑00分量，有
这个方程不包含A，因此便于求解B。上述方程经过变形可得
等号左边最开始两项刚好可以凑成一个函数的导数，由此得到
于是
其中C₁是积分常数。在上式等号两边同时让r趋向于零，容易知道C₁=0。因此
观察第二行的那个积分，它很像是半径r之内的总质量，将其定义为
于是得到
需要注意的是，m(r)并不严格等于半径r内的物质质量，这是因为此时的空间是弯曲的，相应的体积元不是简单的4πr²dr。与真空史瓦西度规做对比：
其中r_s=2GM为史瓦西半径。可以知道，在星球的表面r=r_b处，度规的衔接条件会导致
这意味着
正如m(r)不等于半径r内的物质质量，在史瓦西度规中，M也不等于星球的总的静止质量。
继续回到爱因斯坦场方程，接下来需要求出A，或者求出dA/dr，为此，考虑场方程的11分量，得到
于是
将其代入前面的式(2)，即可得到著名的TOV方程：
TOV方程描述的是广义相对论中静态球对称星球内部的压强分布，具有非常广泛的应用。不过，要想完整求解星球内部的压强分布，除了TOV方程之外，还需要知道星球物质的物态方程，其决定了物质密度与压强之间的关系。
TOV方程的牛顿极限
在直播课的最后，张朝阳展示了TOV方程的牛顿极限。在推导TOV方程的时候，张朝阳采用了光速c=1的单位制，如果要想比较各个量的大小，一种方法是将TOV方程改写为国际单位制下的形式，这相当于在TOV方程中补回光速c。对于(p+ρ)，改回国际单位制之后为
对于低速/低能情形，有p远小于ρc²。在c=1的单位制中相当于说，在低速情况下，p远小于ρ，因此可以忽略不计。另一方面，因为
因此，4πGpr³相比于Gm(r)来说也可以忽略不计。
进一步地，2Gm(r)其实是m(r)对应的史瓦西半径，对于非致密性星体，其史瓦西半径都远远小于星球半径，因此2Gm(r)相比于r来说也可以忽略不计。
综上所述，TOV方程在牛顿极限下为
这正是以前介绍过的恒星内部流体静平衡方程，来源于星球内部压强与牛顿万有引力之间的平衡条件。由此可见，爱因斯坦的引力理论在低能情况下确实会退化为牛顿的引力理论。
（张朝阳展示TOV方程的牛顿极限）
据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多
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