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回顾张量分析,《张朝阳的物理课》重新解读克氏符

从去年11月到今天,《张朝阳的物理课》在5个月时间里,讲述了广义相对论的理论框架,并对三大实验验证做了演算。相比于课程初期,现在大家建立起对广义相对论的基础理解,此时重新回顾描述广义相对论所用的数学工具——张量,将会对后续的学习大有裨益。

3月31日12时,《张朝阳的物理课》第二百零六期开播,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,带大家温故知新。

为什么张量要区分逆变和协变?

正如学习电动力学需要掌握矢量分析一样,学习广义相对论需要掌握张量分析。因为从结果来看,广义相对论给出的爱因斯坦场方程就是一个二阶张量方程

该方程含有16个分量,用张量符号和爱因斯坦求和规则可以把方程写成上面紧凑的形式。方程左边的爱因斯坦张量在之前的课上已经推导过了,但方程右边的能动量张量还没有学习。之前为了把黎曼曲率张量缩并成爱因斯坦张量,需要令它的协变散度为零,从而出来了两项。

但协变散度究竟是什么?为了理解它,并把场方程推广到非真空情形,需要再看看什么是张量。而为了简便,本节课只讨论一阶张量——矢量。

在三维空间中,一个矢量可以由基矢展开成

自然地,在四维情形下,一个矢量可以由基矢展开成

这里就能看出指标区分上下的重要性。在广义相对论中,同一个希腊字母标记的一对上下指标默认要进行求和,这就是爱因斯坦求和规则。

在一般的文献中,在下面的指标叫“协变指标(covariant index)”,在上面的指标叫“逆变指标(contravariant index)”。在本课程中,称指标在下面的基矢为“下基矢”,稍后还会定义一套指标在上面的基矢为“上基矢”。

那么刚刚的展开式实际上是在说:一个矢量可以表达为下基矢的线性组合,组合系数为矢量的逆变分量。所以在给定坐标基矢的情况下,矢量可以由逆变分量表示出来。

当然,有了下基矢后可以获得另一套表达矢量的方法,也就是用矢量与下基矢的内积来表示,这个内积就称为矢量的协变分量

当基矢正交归一时,矢量与下基矢的内积正好等于相应的组合系数,所以在这种情况下,逆变分量和协变分量是相等的。

然而大多数情况下,尤其是在弯曲时空下,下基矢并不会处处正交归一,这使得度规不再是单位矩阵

所以逆变分量和协变分量之间会差一个对度规的缩并

但对于一组线性无关的下基矢,总可以找到一组上基矢,使得在各点上都有对应的正交归一关系

在这种上基矢的定义下,可以把矢量按下基矢展开的式子改写成

可以看出,矢量与上基矢的内积,给出了矢量的逆变分量,即矢量按下基矢展开的组合系数。同理,可以把矢量按上基矢展开,先假设展开系数为c,

可以看出,矢量按上基矢展开的组合系数正是矢量的协变分量,即矢量与下基矢的内积。

张量除了含有多个指标外,还有一个重要的性质:在坐标变换x→x'下,张量它自身并不发生变化,但它的逆变分量和协变分量会发生改变,改变的规则与坐标导数有关:

此外,基矢也有坐标变换关系:

如此能够保证张量自身在坐标变换后并没有发生本质的改变

张量的协变微分

当考虑张量场的分布时,肯定会关心场分布的变化,也就是它的微分。然而,P点的张量分量和Q点的张量分量并不能直接相减。

这是因为,P点的张量分量满足的是P点的坐标变换关系,而Q点的张量满足的是Q点的坐标变换关系,直接拿两个不同点的张量分量作差,得到的量既不能保证满足P点的坐标变换关系,又不能保证满足Q点的坐标变换关系,总之无法保持张量属性。因此,张量的微分不能直接套用普通微分的定义,而需要拓展到协变微分。

在一般的教科书上,是先定义一个联络把P点的张量平移到Q点,保证平移后的张量具有Q点的坐标变换性质后,再与原先处于Q点处张量作差求微分。但如果换一个思路,先假定在知道基矢分布的情形下,可以对不同点的基矢进行运算,最终会发现也能够推出自洽的结果。

下面将采用与教科书截然不同的思路,更直观地理解如何保证导出的协变微分满足张量的坐标变换关系。

从上一节已经知道,张量可以用逆变分量和协变分量两种方法表示出来。本节选取逆变分量,看看它在协变微分下如何变化。把一阶张量的微分按下基矢展开

展开系数是张量对上基矢的内积

对于括号内的微分,要考虑到矢量的逆变分量随坐标的变化和基矢随坐标的变化两项贡献

代入上式,得到

括号内的式子定义为对一阶张量的协变导数,

其中定义了克氏符为

在一般的教科书中,它就是保证张量平移后依然具有坐标变换关系的联络,也即

是满足Q点坐标变换关系的张量。这样就是先令联络有张量平移后保持坐标变换关系的属性,再导出联络应具有的形式。而在本课程的推导中,则是把基矢包含进来一起求微分,从而导出克氏符是随着坐标的变化率和上基矢的内积。为了逻辑自洽,下面来证明用上述联络平移后得到的量依然是个张量。考虑坐标变换x→x',直接计算得到

上式的计算都是在P点上进行的。如果平移后的张量满足Q点的坐标变换关系,则有需要在P点的坐标变换关系的基础上向Q点展开

代入得到

其中,第三行略去了二阶小量。利用等式

可以发现两者是相等的,说明本课程从基矢变化的角度推导出的克氏符符合张量平移要求。

既然平移后的量是Q点的张量,那么它与原先处于Q点处的张量作差,再对坐标求导数得到的量自然也是张量,即协变导数也是张量,而且是一个二阶张量,它再与坐标微元缩并后就又回到一阶张量,也就是协变微分。

(张朝阳导出克氏符的表达式)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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