在先前的课中，张朝阳演示了如何用测地线方程出发，从头算出光线偏折效应。在星体密度极大以至于形成黑洞时，利用光的测地线方程，还能得到光线在史瓦西半径外就会存在一条临界圆轨道，这就是黑洞光子球。黑洞可以将整个宇宙的光汇聚，是比引力透镜效应更强很多的一种有趣现象。这不仅仅是科普，也是近年来科学前沿的重要课题。3月17日12时，《张朝阳的物理课》第二百零四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，再次运用测地线方程计算了史瓦西黑洞的光子球位置。
（张朝阳讲解黑洞相片）
复习光的测地线方程
之前的课程中使用了测地线方程、惠更斯原理等研究了太阳导致的光线偏折效应。太阳的史瓦西半径非常小，光线偏折的效应并不十分强。但当星体的半径与史瓦西半径相差不大（例如中子星）或者甚至就是小于史瓦西半径成为黑洞时，光线偏折的效应将越来越强。以史瓦西黑洞为例，可以计算得到一个允许的最内圆轨道，这就是黑洞光子球，黑洞照片就是以此为原理。黑洞可以将整个宇宙发射过来的光汇聚，形成神奇的效果。张朝阳的物理课不仅仅只是口头的科普，还要进行深入的计算，以获得更深刻的恍然大悟，并且也更可能会触碰到真正的科研前沿课题。
计算从类光测地线方程出发。对于光而言，它的世界线线元ds=0，直接使用线长参数不能很好描述光的运动。所以需要另一个标量参数来标记光的运动，这个参数可以和线元长度无关，称为仿射参数，一般记为λ。这就是说，虽然ds=0，但总可以构造一个标量λ，让微元dλ不为0，并用它来参数化光的世界线。借助这个仿射参量，就可以构造出适用于光的测地线方程
史瓦西度规为
其中史瓦西半径
和上节课做法完全一致，下边将史瓦西度规代入到测地线方程。对α=0和3的两个分量，方程形式为：
对于α=2分量，我们总可以选取坐标系的极轴，把光的运动限制在赤道面上
对于α=1分量，利用光的世界线线元为0的性质
得到
代入α=0和3所对应的守恒量
整理一下得到
做变量替换，令y=1/r：
代入方程做化简后得到：
这是一个一阶微分方程，为了方便处理，将它转化为类似牛顿引力情形的二阶微分方程，两边同时除以L方再对Φ求导：
整理后，得到最终的轨道方程
（张朝阳讲解光的测地线方程）
用微扰近似求解轨道方程
对太阳而言，史瓦西半径大约是3km，而太阳本身的半径就有7×10⁵km，相比之下史瓦西半径是非常小的，所以可以认为方程右侧的平方项相比于y是一个小量
上节课已经计算得到这个方程的近似解应该很接近下面这个零级近似方程的解
这个方程就是谐振子方程，如果选取Φ=0对应光子从无穷远处入射而来的方向，方程的解就是
这是一个直线在极坐标系下的方程，意味着光线完全不被偏折。其中参数A代表直线离原点的距离的倒数。下面重新考虑刚刚被忽略掉的小量，类比微扰论的思想，把这个小量当做对近似方程的微扰，用零级近似解的三角函数形式作为对原方程一级近似解的试探函数。把零级近似解代入到轨道方程右侧的小量中：
上节课已经得到这个方程解的形式可以展开为：
接下来经过仔细的计算和讨论定下待定系数。对于初始条件，仍然选取Φ=0，可以把微扰解写成
对于光的出射角，不妨在零级近似出射角π的基础上加上一个偏折角δ，记为Φ→π+δ，那么有
取δ的小角近似，并约掉一个A，
进一步地，由于r_sA=r_s/r_0是一个和δ同阶的一阶小量，所以对于(2-δ²/2)²只需要保留到零阶，这样就得到
这个结果也和用惠更斯原理所得到的结果一致。
（张朝阳讲解微扰法求光线偏折角）
黑洞最内圆轨道与黑洞相片
上边的计算使用的微扰法只有在史瓦西半径和星体半径相比起来非常小的时候才是有效的，对于黑洞情况将非常不同。黑洞史瓦西半径外仍然是真空，适用真空史瓦西度规，这时之前得到的光的轨道方程（13）就不可以简单将右侧忽略。下边先考虑沿径向入射或出射的光。
此时由光的线元为0即（6）式得到：
此时光的径向坐标速度为：
可以看到在史瓦西黑洞的史瓦西半径处，即r等于rs处，光的坐标速度为零，这表明这里的光是永远无法跑出黑洞的。这就是黑洞的视界面，对于史瓦西黑洞，这个视界面叫做事件视界。黑洞之所以得名黑洞，就是指远处的观者永远也观察不到视界面内部发出的光，看起来像是一个“黑球”。
对于不沿径向的光，情况会有所不同。并不是只有视界面内部的光不能出来，甚至在史瓦西半径外就会有光线不可避免的落入黑洞的一个边界，这就是光子球。为了计算这个边界的位置，重新回到光的轨道方程：
这里应该注意的是，得到上边第二个方程的时候有一个必须的条件是y的导数不能等于0。现在想要找到一个光子轨道的临界位置，在这个位置下光会绕着黑洞做圆周运动。这是一个特殊的解，因为是圆轨道，所以有：
这个三次方程的行为会相对复杂，为了方便计算出这个最内圆轨道的半径，可以使用（25）式的第二个方程，因为y的导数为0，二阶导数也就为0，立即可以猜出：
但这时会面临一个问题，即（25）式的第二行要求y的导数不能是零。因此还需要将猜出的解（27）代回到（26）式中检查是否有相应的E和L使方程成立，如果有那么就说明（27）式的解是自洽的。
带入验证很容易得到当下式满足时方程成立：
这就说明（27）式确实就是最内圆轨道的半径。这个轨道却不是稳定的，这可以通过对y的一阶导数和二阶导数的行为看出。只要偏离r0一点点，则有：
如果r大于r0，很容易看出上式是小于0的。而一阶导：
同样是小于0的。这意味着哪怕只是稍微朝外侧偏离r0一点点，r也会不断增大，不仅如此，由于二阶导也小于0，r增大的速度也会越来越快。相反，在r小于r0时，一阶导和二阶导都大于0，这时，r会不断减小，并且减小的速度也会越来越快。这就说明了最内圆轨道是一个分水岭，是不稳定的圆轨道，一点点小的微扰都会使轨道偏离r0。这非常像是2次函数与3次函数导数为0的位置，2次函数是稳定的而三次函数就不稳定。
黑洞会将从宇宙各个方向来的光汇聚，有些入射光会绕着黑洞运动几圈后再从其他方向出射，这意味着通过黑洞，人们可以观察到所有来自宇宙各个方向的光，这是比引力透镜效应更要强烈很多的有趣现象。近年来有关黑洞相片的研究也得到了广泛关注，这不仅仅是科普，也同样是科学研究的前沿阵地。张朝阳的物理课正是通过深入的计算来接近物理的本质，而非简单的泛泛之谈。
（张朝阳讲解黑洞最内圆轨道的性质）
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