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从狭义相对论到量子力学,《张朝阳的物理课》探索如何得到克莱因-戈尔登方程

在之前的课程中,张朝阳已经计算出白矮星是存在质量上限的,即钱德拉塞卡极限,而这一质量上限的存在是因为粒子的相对论效应。那么应该如何描述一个相对论性的粒子?之前对相对论粒子的k空间的分析又是否合法?9月22日,《张朝阳的物理课》第一百七十五期开播,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,对这些问题进行了研究式的探索,来讲解、还原历史上克莱因-戈尔登(Klein-Gorden)方程提出的过程,展示了物理学的思辨性与创新性。

白矮星的质量上限

张朝阳首先回顾了之前对白矮星质量上限的计算过程。平衡状态下,白矮星中心的压强有如下关系

其中,G是万有引力常数,R是白矮星半径,M是白矮星总质量。另一方面,当不考虑相对论效应时,白矮星中心处电子的简并压为

其中beta是一个与M、R无关的常数。这就意味着随着R减小,电子简并压增大的速度要比白矮星压强增大的速度更快,因此会得出错误的结论:无论白矮星的质量有多大,电子简并压都可以抵抗住引力导致的塌缩。这与实际情况不符,因此就必须要考虑相对论效应。

考虑了相对论效应后,电子的简并压仍然可以看作是由电子碰撞产生的动量改变所造成的。因此有压强的表达式为:

但此时电子的质量是速度的函数,借助对非相对论粒子k空间的分析,压强会是在k空间的一个积分:

之前的课程中,张朝阳已经计算得到了相对论情况下,电子简并压最终的表达式:

alpha是之前直播课介绍的系数,可以取为2,mp是质子质量。这个结果说明了白矮星存在一个质量上限。但是张朝阳指出,当得到这样的结论时,用了两个重要的条件:1、相对论的色散关系。2、相对论粒子的k空间与非相对论粒子一致。第一条已经被广泛认为是正确的,但第二条是否正确仍然需要检查。所以需要从相对论粒子的运动方程入手来看第二条是否合法。描述相对论自由粒子运动规律的方程就是克莱因-戈尔登方程,为了领略这一方程提出时物理学家们的思辨过程,张朝阳带领大家回顾了相对论的色散关系以及薛定谔方程是如何提出的。

张朝阳计算相对论情况下电子简并压

相对论色散关系

张朝阳从4维矢量入手来讨论相对论情况下物体运动的规律。假设地面参考系为S系,相对粒子静止的参考系为S’系,不失一般性,可以假设粒子沿着x轴方向运动,这样粒子的位置矢量就有如下形式:

粒子的4维速度是4维位置矢量对原时(故有时)的导数:

那么在S’系中,同样可以写出粒子的4速:

洛伦兹变换的变换矩阵为:

其中

通过洛伦兹变换可以联系两个参考系下粒子的4维位置矢量与4速:

用同样的方式可以定义粒子的4动量:

由于4动量总是归负一的,S系与S’系间就有如下关系:

两边同时乘上光速c的平方后,就得到了相对论情况下的色散关系:

但如何看出上式左边的E是能量呢?张朝阳指出可以通过对E做一个泰勒展开来看出。当粒子速度很小,即beta趋于零时有:

前两项分别是粒子静止质量对应的能量以及动能,这么看来E确实具有能量的意义。

对于光这一极端相对论的客体,它的速度v就是光速c,由

可知,光的静止质量(故有质量)为0。张朝阳提到,这不意味着光可以静止,相反,静止质量为0正说明了不存在一个参考系使得光速为0,这里静止质量是一个整体的名词,只是粒子的一个参数。这样光的色散关系为:

张朝阳推导相对论色散关系

猜出薛定谔方程

对薛定谔方程形式的猜测用到了爱因斯坦光电效应的结论,以及上边推出的光的色散关系:

另一方面,光也是一种电磁波,例如平面波就有下面的形式:

满足波动方程:

薛定谔猜测,对具有量子性质的粒子运动的描述也是通过一个波动方程,基于牛顿力学的色散关系:

并将动量与能量做如下代换:

这时就猜出了自由粒子的薛定谔方程:

它的解与电磁波类似,有如下形式:

张朝阳推导薛定谔方程

克莱因-戈尔登方程

有了薛定谔方程的经验,上边已经分别处理了光的色散关系,非相对论粒子的色散关系,下边只需要推广到一般粒子的相对论色散关系即可。当然张朝阳提到,这还需要用到德布罗意(de Broglie)提出的物质波假设,即每个粒子,都具有类似光子的波长与动量间的关系:

仿照薛定谔的假设,做能量动量到算符的代换,就得到了克莱因-戈尔登方程:

张朝阳提到,可以直接使用带有平方的色散关系,而不必考虑如下形式的带有根号的色散关系:

当然,对这一形式的研究就是狄拉克的工作,他由此推出了狄拉克方程。

到此,张朝阳展示了当年物理学家是如何猜测出相对论粒子运动方程的。与此同时,有了克莱因-戈尔登方程马上可以得知,对白矮星质量上限的计算是合理的,因为相对论粒子同样具有平面波的形式,k空间因此是与非相对论情况完全一致的。

张朝阳推导克莱因-戈尔登方程

据了解,《张朝阳的物理课》于每周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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