本文为中国激光第3128篇。
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文中图片均为李俊昌教授原创，版权归作者所有。
作者 | 昆明理工大学 李俊昌
引文：
在1818年巴黎科学悬奖竞赛大会上，菲涅耳描述惠更斯原理的数学公式被后人称为菲涅耳衍射积分。目前，菲涅耳衍射积分的运算基本上采用快速傅里叶变换（FFT）。然而，不同的FFT算法是1965年才开始研究出来的，200年前还没有计算机，这篇动摇微粒说的获大奖论文中菲涅耳如何计算他提出的积分表达式，乃是当今科技界鲜为人知的故事。
当照明光为均匀球面波时，直边衍射的计算事实上转换为后人命名的菲涅耳函数的计算。本文将介绍菲涅耳当年计算菲涅耳函数的方法和他进行的球面波照明的25次直边衍射实验与理论计算的比较结果。直边衍射条纹的实验观测与理论预计惊人地吻合，解释了光的微粒说不能解释的问题，是菲涅耳论文获得大奖的一个重要原因。
在本文中将看到，通过对菲涅耳函数的数学分析不但可以建立准确的数值计算方法，利用计算机获得给定精度的准确解，而且能够导出直边衍条纹的分布公式。该公式能准确计算200年前菲涅耳获大奖论文的25次直边衍射实验的条纹间距分布。
01
何为菲涅耳函数
新学期很快开始，肖教授在接到两位年轻人的微信后，给尚进和郝思发来了下面的微信。
两位年轻人好！你们利用假期学习了许多知识，特别是能动手做实验来证明菲涅耳的衍射理论值得赞扬。但是，一是要注意对激光的安全防护，二则也应利用假期好好休息，迎接新学期的到来。
现在我们有了计算机，许多复杂的光学计算问题可以用计算机编程求解。但是，任何计算程序都是基于相应的物理及数学知识编写的。衍射计算是光学研究中一个非常复杂的问题，在没有计算机的时代，衍射计算问题就更为复杂，完全只能直接面对衍射积分的数学式直接求解。
菲涅耳在1818年获大奖的论文中，将惠更斯原理用他提出的衍射积分表示，如果他不能用衍射积分定量描述大会组织者提出的议题，那么就不可能在这次大会上让波动说获得胜利。
现在，我们来回顾菲涅耳讨论直边衍射问题时，如何利用他提出的数学方法求解衍射积分的数学过程。
在他获大奖的论文中有下面图像（摘自1819年菲涅耳撰写的《光的衍射回忆录》图8），我设为图1。
图中，C是发光点。实际观测点P距离光轴的距离PB远小于CA及AB。菲涅耳令a和b分别表示CA和AB的长度，用dz表示C点发出的球面波上任意给定的小弧nn'，用z表示它到M点的距离，当z甚小于a和b时，菲涅耳将点C到P的光程近似为
。他令光波长为λ，并假设小弧nn'发出的并到达P点的光波有两个光振动分量：
对波面上所有元波的两分量求积分，菲涅耳提出点P处的光波的强度可以表示为：
上述讨论可以视为菲涅耳基于惠更思原理而形成的“微波带法”计算，因此，我将该图标示为菲涅耳用微波带法研究直边衍射的图像。
按照图1，菲涅耳假定屏足够宽，只对屏AG左侧的透光区域作积分运算。他令
，将式（F1）简化为以下两积分
由于菲涅耳的获奖论文在光学发展史上具有重要意义，这两个积分在现在的数学手册上称为菲涅耳函数[1]。
长期以来，虽然大量科技工作者对菲涅耳函数的计算进行了研究，然而，至今还是没有得到解析结果，按照数学手册上提供的信息，菲涅耳函数只能表示成无穷级数[1]：
02
菲涅耳函数的菲涅耳算法
很明显，即便当年有这个级数式，利用级数表达式来讨论衍射问题也是很不方便的。为此，菲涅耳对两积分作了近似计算。由于式（F2）中积分的函数值随积分变量v的增加产生会周期很短的急剧正负交替变化，他将积分视为一序列积分范围很小并相互衔接的积分之和。他令i和i+ t是其中某一积分的下限和上限，再令v= i+ u，让t的宽度始终小于积分函数正负变化周期的1/20（t的取值将随着v的增加而急速减小）。由于v2=i 2+ 2iu+u2，忽略u2后他得到得两组积分的近似公式，
基于（F3）式，菲涅耳通过手算→查正弦及余弦数值表→再手算，用繁杂的计算获得积分表1（积分下限为0，上限是5.5q，以0.1q为变化量时的数值积分表）。你们要注意，表中的0.1q 并不是上面的t，为得到相邻取值是0.1q的积分结果，其间包含大量的中间积分运算。
表1 积分下限为0不同上限的菲涅耳计算的数值积分表
由于菲涅耳函数积分限从负无穷大到0的积分值都等于 1/2，菲涅耳借助此表，通过他提出的再优化运算获得给定位置点 P 的光强取极值的位置。
再优化步骤是：首先通过表中数据考查两积分数值的平方和的大小，当v = i 时两积分的平方和小于或大于表中前后邻近行的积分的平方和时，通过下面两式定义I和Y
其中 t 表示必须添加到 i 让P点的亮度达到最大或最小的值。由于观测点的强度为
要找到上式取极值的t值，应让E（t）的导数等于0。菲涅耳在求解计算中采取忽略 t 的平方等近似，最后得到P点的亮度达到最大或最小值时t满足的公式
当通过上式求出t后，i + t则是相应极值点的对应的位置。可以看出，菲涅耳为考查直边衍射条纹的分布，曾经进行过如此繁杂的数学计算，令人敬佩！
按照上述
的假定，由于
，因此有
根据图1的几何关系，观测平面上与上式对应的衍射极值点位置 x = z（a + b）/ a。菲涅耳令n = i+t，代入上式得
菲涅耳的实验观测表明，第1 级最小值时n=1.873。然而，按照他在大会报告开始的半波带法简明讨论（专栏文章6），菲涅耳假定遮挡屏边界有一个半波延迟，令d=mλ-λ/2,(m=1,2,3,...)，得到第m级暗纹到遮挡屏边界几何投影的暗纹间隔是
按照（F11）式，m=1时第1级最小值则为
显然，（F10）和（F12）是不一致的。然而，半波带法虽然不能非常准确地预计衍射暗纹的分布，但可以简明地按照波动理论解释形成直边衍射条纹的物理原因，因此，菲涅耳在 《光的衍射回忆录》中，仍然保留了半波带法讨论直边衍射条纹分布的内容。但对于与实验观测的比较，菲涅耳是采用导出（F8）式的相关讨论与实验观测作比较的。
200年前还没有激光，菲涅耳的实验研究是在暗室中引入太阳光为原始光源，让光通过小孔，并采用自己导出的狭缝衍射时的“泊松”斑纹公式（见专栏文6），测量了只允许通过红光的滤玻片光波的波长是λ=0.0006338 mm，展示了他认真进行的25次实验，并对每次实验前5级直边衍射暗纹的实验测量与理论计算作比较。
菲涅耳的《光的衍射回忆录》对他所做的实验有这样的描述，他认为观测暗纹比较方便，于是在透明玻璃片上刻了一小段细线，并将玻璃片固定在测微螺旋的一个测试瑞。旋转测微螺旋轮时，他让透明玻璃片细线一端还能看到暗纹，用眼睛认真观测并顺序记录下条纹的位置。他还特地说过一件有趣但很值得我们进行认真科学实验借鉴的事，他说：“我在巴黎综合理工大学（Ecole polytechnique）的暗房中进行的第一次观察不够准确，暗房地板虽然坚固，但并不具足够的稳定性，当我将身体的重心移到测试仪的左侧或右侧时，固定在测微螺旋一端的测量线有很轻微改变。但是，我对后来的新观测结果充满信心，因为我将测微螺旋的支架固定在一个保险櫃上……”
正如前苏联科学院院士兰斯别尔格在俄文版《菲涅耳论文选集》序言中说到的那样，菲涅耳能够用他拥有的实验设备做出人们难于达到的测试精度。
看到这里，尚进的联想是：“看来我们在家所做的实验很粗糙啊！今后得在实验室认真做实验。”而郝思的联想是老师带他们参观实验室的情况：“难怪光学实验室有那么大的全息实验平台！”
在菲涅耳1819年写的《光的衍射回忆录》中有菲涅耳在大会报告中讲述的直边衍射条纹的25次实验详尽信息。菲涅耳衍射积分的理论计算与实验测量惊人地吻合，无可争辩地证明了他推广和发展的惠更斯原理的正确性。表2a是菲涅耳《光的衍射回忆录》法文原文的影印图像，是菲涅耳直边衍射条纹的第一次实验记录与菲涅耳用他提出的衍射积分计算的比较，表2b是表2a的译文。
表2a 菲涅耳《光的衍射回忆录》中直边衍射第一次实验的影印图像
表2b 菲涅耳《光的衍射回忆录》中直边衍射第一次实验的译文
附件给你们发去菲涅耳的这25次实验的详细数据。这里，我建议你们利用李老师按照菲涅耳衍射积分导出的直边衍射公式对这25次实验也进行一次计算。按照菲涅耳采用的变量符号，令照明光的波面半径为a，衍射距离为b，再令n=0,1,2,...，将公式中第n级衍射暗纹视为菲涅耳实验中的n-1级暗纹，暗纹到物投影边界的距离是
该公式的计算与菲涅耳的计算结果完全一致。
郝思很快用MATLAB编写了程序，按照表2给出的实验条件，利用（1）式得到的第1到第5级衍射暗纹到投影边界的距离分别是：2.823 mm、4.141 mm、5.129 mm、5.955 mm及6.680 mm。
看着这个结果，郝思忍不住给尚进打了视频电话：“老兄，你在干吗？你是否看了肖教授给我们发来的微信？李老师的公式太牛了，真没想到这么准。”
接到师弟电话的尚进正履行他“做东”的义务，同几个老同学在火锅店用餐。他给郝思回话道：“看过了，因好几个高中同学约好今天要见次面，昨晚上已经看了肖教授的微信。我觉得，用李老师的公式编写程序不困难，烦老弟你看完肖教授这次发来文件后头的内容后，我们再电话讨论。”说完，他将手机转向正在兴高采烈地品尝着火锅的伙伴，让郝思看他们聚会的热闹场面……
“好好玩吧，代我向你的老同学们问好。但说实在的，我可受不了你们四川的麻辣，拜拜！”郝思说完后挂了电话。
很快，郝思在家利用公式（1）编写程序，对照肖教授发来的菲涅耳25次直边衍射实验的信息进行了比较。面对比较结果，他大为惊叹：“简直难于相信！这可是200年前菲涅耳获奖论文的实验啊！”很快，郝思将比较结果重新列成表格，以他和尚师兄的名义发给肖教授（见附录）。
肖教授收到微信后的回信如下：
李老师的这个公式，事实上是为论证他1984年赴法国进修时提出的强激光均匀系统的可行性的一个意外收获[2]。在该理论研究中涉及到高斯光束通过方孔衍射时的菲涅耳衍射场强度计算，由于衍射积分没有解析解，他对积分式进行了认真的数学分析，不但得到便于计算机编程的积分链接算法，而且导出直边衍射条纹的分布公式。由于积分链接算法能够通过程序准确地计算菲涅耳函数，与菲涅耳当年的计算思想有相似之处，我先对此作介绍。
03
菲涅耳函数的积分链接算法
2020年科学出版社出版的光学名著《傅里叶光学导论》第4版中译本中[3]，顾德门教授将菲涅耳函数称为菲涅耳积分。在讨论方孔的菲涅耳衍射场强度计算时，计算公式最终形成由菲涅耳积分表示的算式，对菲涅耳积分的计算有这样的描述“菲涅耳积分之值已经列成表，也可从许多计算机软件中得到如Mathematica和Matlab，因此计算上述强度分布是一件轻而易举之事。”
然而，上世纪80年代计算机软硬件都还不发达，李老师在进行强激光均匀变换系统研究时涉及到高斯光束通过方形孔的衍射场强度计算。由于没有解析解，经过对计算式的近似研究，最后也归结到菲涅耳函数的计算。当时李老师曾按照积分的几何意义，采用梯形法求积分函数曲线与横轴所围面积作数值计算，当计算范围较大时，就得不到正确结果。仔细分析积分函数才发现，在计算范围内，要让数值积分的间隔取得甚小于积分函数的变化周期，才可能得到正确的积分值。然而，由于菲涅耳函数中的积分函数是随积分变量的增加而以极高频率振荡的函数，必须建立数量极大的数组才能完成计算。那个年代的计算机不但计算速度慢，而且内存小，其内存不支持上述数值积分法需要的庞大数组，无法获得正确的结果。
为解决应用研究中遇到的问题，李老师通过对菲涅耳函数的数学分析，总结出积分链接算法。该算法是通过对菲涅耳函数中积分函数曲线研究及积分的几何意义分析得到的。图2a是两个积分函数的曲线，图2b是菲涅耳函数曲线。
根据积分的几何意义，正弦及余弦积分的极值点分别在积分函数的零点位置出现，并且，相邻两个极值点之间被积函数值符号不变。为避免梯形法编程求积分函数与横轴所围面积时没有足够大的数组取样而出错的问题，他将菲涅耳函数通过积分函数的零点表示为[4，5]：
当菲涅耳函数表为上述形式后，式中每一个积分都可以采用常用的数值积分方法，不用很大的取样数则能求得给定精度的解。通过一个个积分的链接累加计算，便能获得精确的菲涅耳函数值。
1985年李老师开始进行计算时，实验室只有一台计算机大家公用。由于完成计算涉及的积分数量太多，那时流行的是在DOS系统下编写BASIC语言，计算速度非常慢。他不得不先在本子上将程序认真写好，周末大家下班前人较少时去计算机前正式编写程序，程序输入完成后，让计算机计算到下一周的周一早上去取结果。由于程序并不是一次便能调整好的，差不多用了一个多月的时间才获得正确的结果。
后来，李老师认真总结，得到了一种可以较快地得到结果的递推插值算法，事实上就是将求和号内的每个积分值预先计算好后存为一个数组备用，正式计算时先考查给定的计算点应在哪两个积分之间，插入一个单积分运算便能得到很好的结果。
可以看出，这个算法与菲涅耳当年的计算思路是一致的。只是当年没有计算机，菲涅耳不得不将每一个单积分转化为近似的代数式做出积分表，最后确定直边衍射条纹的强度极值时，先考查极值大约落在表中哪两个数值中间，再通过函数求极值的数学方法来确定衍射场的暗纹位置。李老师是将式（2a）及（2b）中一序列单一积分的运算值先做成一个数组，实际计算任意给定变量的菲涅耳函数值时，先考查计算点x落在哪两个积分之间，然后用一个单积分运算后加上前方的积分值[4，5]，两种处理方法很相似。
随着计算机技术的进步，现在已经有许多数学计算软件可以直接计算菲涅耳函数。但其计算所依赖的数学背景是不可见的。如果没有计算软件，就需要科技工作者采用C语言一类的低层源代码，自己动手编程完成计算。作为你们学习能力的一种锻炼，建议你们今后能就上面公式，用C++语言自己编写程序计算菲涅耳函数。
菲涅耳做的衍射实验已经是200年前的事了。也许，你们会认为上面对菲涅耳函数及直边衍射条纹的计算讨论很有点学院式研究的味道，不知这些知识是否能够用于实际？事实上，菲涅耳函数在衍射数值计算中具有十分重要的意义[4，5]，灵活应用直边衍射条纹公式，还可以解决现代光学检测及应用中的许多重要问题[6]，今后我会再告诉你们。
04
直边衍射条纹间距公式的推导
这封微信最后，肖教授说道：实际上，在没有得到菲涅耳函数的数值解之前，李老师根据积分的几何意义绘出图2b的 曲线大致形貌后，将出现强度极值之点视为相邻极值点的坐标平均值，便导出了直边衍射条纹的极大值和极小值的分布公式。后来按照公式（2a）、（2b）编程计算验证了这个推断[2]。
公式的推导简明地总结在他和熊秉衡教授所写的《信息光学教程》中[7，8]，下面参照该教材对此简要介绍。
单位平面波照明2、3象限的半无限大遮挡屏时，经距离d 的衍射观测平面的光波场由菲涅耳衍射积分表出
利用菲涅耳函数可以简化为
于是，观测平面的光波场强度为
参照图2菲涅耳函数的积分函数及积分曲线，令n=0,1,2,...，菲涅耳函数取极大值时分别满足[2]：
而取极小值时分别满足：
根据图2所示菲涅耳函数曲线，虽然
不在同一位置达到极值，但可以认为衍射亮纹及暗纹的位置是两函数相邻极大位置的算术平均值以及相邻极小位置的算术平均值。这样，从几何投影边界算起，第n个衍射亮纹，到投影边界的距离为
而从几何投影边界算起，第n个衍射暗纹到投影边界的距离为
半径为R的发散球面波照明下经过衍射距离d的计算，可以简化为平面波照明衍射距离为d（d/R+1）的衍射计算（专栏文章6附录2）。这样，从几何投影边界算起，第n个衍射亮纹到投影边界的距离为
而从几何投影边界算起，第n个衍射暗纹到投影边界的距离为
将（6b）式与本文（1）式比较可以看出，这正是前面我建议你们用来计算菲涅耳25次直边衍射实验条纹的公式。
附录：
公式（1）与菲涅耳1818年获奖论文的直边衍射实验及计算的比较
表A-1 菲涅耳1818年进行的直边衍射条纹第1-5次实验测量及两种计算方法的比较
表A-2 菲涅耳1818年进行的直边衍射条纹第6-10次实验测量及两种计算方法的比较
表A-3 菲涅耳1818年进行的直边衍射条纹第11-15次实验测量及两种计算方法的比较
表A-4 菲涅耳1818年进行的直边衍射条纹第16-20次实验测量及两种计算方法的比较
表A-5 菲涅耳1818年进行的直边衍射条纹第21-25次实验测量及两种计算方法的比较
参考文献：
[1] 数学手册编写组，数学手册[M]，北京：高等教育出版社，1979，P.594
[2] J.C.Li，J. Merlin et J. Perez，Etude comparative de différents dispositifs permettant de transformer un faisceau laser de puissance avec une répartition énergique gaussienne en une répartition uniforme[J]，Revue de Physique Appliquée, 1986，Vol.21：P.425-433.
李俊昌，J. Merlin ，J. Perez，大功率高斯光束变换为均匀分布的几种光学装置的比较研究[J]，[法]应用物理评论，1986，Vol.21：P.425-433.
[3] [美]顾德门（Joseph. W. Goodman）著，陈家璧 等译，傅里叶光学导论[M]（第4版），北京：科学出版社，2020年：P.90
[4] 李俊昌，激光的衍射及热作用计算[M]，北京：科学出版社，2002：P.78-82.
[5] 李俊昌，激光的衍射及热作用计算[M]（修订版），北京：科学出版社，2008：P.58-62.
[6] Li Junchang et al.,Utilisation des franges de diffraction induites par un bord droit pour caracteriser un faisceau laser de puissance[J]， Journal of Optics, vol.24, no.4,1993：p.41-46.
李俊昌 等，利用直边衍射条纹标定强激光参数[J]，[法]光学，vol.24, no.4,1993：p.41-46.
[7] 李俊昌，熊秉衡 ，信息光学教程[M]，北京：科学出版社，2011：P.34-35.
[8] 李俊昌，熊秉衡 ，信息光学教程[M]（第2版），北京：科学出版社，2017：P.38-40.
预告：第十一篇 菲涅耳函数的快速计算及应用
2017年，光学名著《傅里叶光学导论》第4版对柯林斯积分作了介绍。柯林斯积分也称柯林斯公式，是计算光波通过傍轴光学系统的衍射计算公式。在应用研究中，当初始平面的光波场的空间变化率不高时，柯林斯公式可以足够准确地变换为由菲涅耳函数表示的计算式，而菲涅耳函数可以足够准确地用代数式快速计算。用菲涅耳函数计算柯林斯公式的研究具有实际意义。
下文介绍两种不同的菲涅耳函数计算公式：其一摘自美国学者A. E. Siegman的专著《Lasers》，其二是作者导出的计算公式。我们将对两种菲涅耳函数的计算公式精度进行比较，并给出用菲涅耳函数计算柯林斯公式的一个激光工业应用实例。
最后，通过菲涅耳衍射积分的研究，导出采用菲涅耳函数计算一些特殊衍射问题的计算公式及相应的实验证明。
作者简介
李俊昌，1945年生，汉族，昆明人，昆明理工大学物理光学二级教授。享受国务院特殊津贴、全国优秀教师、云南省优秀工作者、《中国激光》杂志常务编委（2008-2018）、云南书画院研究员、云南美术家协会会员。1968年毕业于云南大学物理系，1980年从工厂调入昆明理工大学任教至今。
作为客座教授，先后在法国里昂应用科技学院、法国里昂中央理工大学、法国巴黎高等工业大学、法国国家科研中心及法国缅茵大学合作科研或指导博士生。几十年来，在法国巴黎光学院等多所知名大学及国内中国科学院研究生院、清华大学、国防科技大学、西北工业大学、北京邮电大学、北京理工大学、北京工业大学、四川大学、成都光电所、上海光机所、香港城市大学及台湾师范大学等数十个知名科研院所进行过多次专题学术讲座。在物理光学领域的主要研究成果是修改了国内外50多年来一成不变的相干光成像近似理论。
第一作者在国内外著名学术期刊发表SCI及EI索引的科学研究论文60余篇，出版中、英、法文科学专著六部：1、《激光热处理优化控制研究》（冶金工业出版社1995年）；2、《激光的衍射及热作用计算》（科学出版社2002年第一版，2007年修订版）；3、《信息光学理论与计算》（科学出版社2009年）；4、《信息光学教程》（科学出版社2011第一版，2017年第二版）；5、法文专著《数字全息》Holographie numérique（法国巴黎：HERMES科技出版社2012年）；6、《衍射计算及数字全息》（科学出版社2014年中文版，2016年英文版）。
自幼爱好书画，上世纪70-80年代，美术作品多次参加云南省美展，在报刊杂志出版过多种连环画。改革开放后主要从事科研及教学，但美术作品2019年及2021年入选云南省美展。
专栏文章：
菲涅耳半波带法计算实例 | 李俊昌专栏⑤
菲涅耳的直边衍射条纹及泊松斑纹公式 | 李俊昌专栏⑥
半波带法及菲涅耳微波元法计算研究 | 李俊昌专栏⑦
菲涅耳衍射积分离散计算时的光场克隆研究 | 李俊昌专栏⑧
角谱衍射数值计算理论补充 | 李俊昌专栏⑨
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