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受扰动的二能级系统如何随时间演化?《张朝阳的物理课》解密拉比振荡

原标题:受扰动的二能级系统如何随时间演化?《张朝阳的物理课》解密拉比振荡

不同表象之间如何相互转换?一个二能级系统在扰动下如何“被迫”演化?什么是拉比振荡?6月4日12时,《张朝阳的物理课》第148期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先带大家复习了如何用线性代数方法处理量子力学中的各种计算,给出了求解矩阵本征值和转化矩阵的具体方法。

张朝阳强调,找到能量算符的本征态和对应的本征值是求解含时薛定谔方程的前提。据此,他讨论了一个受扰动的二能级系统如何随时间演化,发现在扰动的作用下,系统向另一个能级跃迁的概率会以一定的周期不断振荡。

同一量子态在不同表象下的表述由转换矩阵联系

从经典世界观向量子世界观转向的历程中,有许多令人惊诧而又值得细细说道的观念革命。首当其冲的,理应是对量子力学的名字起源——可观测量分立取值——这一认知。经典力学的一切可观测量都是连续取值、允许无穷小偏移的。比如月球绕地球旋转,它的轨道半径决定了它的“状态”,这个力学量无疑是可以取大于零的任意值的。

但是量子力学告诉我们,比如电子绕原子核旋转则不然,描述它的“状态”的是离散取值的能量。这种区别最直接的后果是,在谈论两个经典的行星轨道时,也许它们可以是“几乎相同”的,但是它们之间仍然可能会有差异——这种小偏离是被允许的。

但是如果谈论两个氢原子,如果我们知道它们都在能量最低的基态,那么它们的能量、或者对应的玻尔半径,都只能是精确相等的——量子体系的可观测量只允许存在超过一定阈值的差异。

所以在研究微观系统的物理时,有时候我们确实关心粒子在坐标空间的分布和演化,比如我们曾经花费大力气精确求解氢原子的波函数、求解谐振子的波函数等。但是解过一次后,波函数具体形式的重要性就直线下降。毕竟只要我们指定它的能级,那么对应地的分布必然是已知且给定的结果。甚至于,在不考虑更精细的内部结构时,世纪前的基态氢原子和今日的基态氢原子都应该长得一模一样。

这就让我们思考,似乎描述微观系统的关键并不是坐标和波函数,而是更具体的可观测量的取值。换句话说,精确描述系统具体状态的重要性降低了,不如转而关心更确切可测的观测量的计算。张朝阳提出,这即是上节课介绍的矩阵力学形式的精髓之一。在矩阵力学形式中,系统的状态被高度抽象成希尔伯特空间中的态矢,而我们更关心某个力学量(被表示为算符)可能的观测取值(对应于算符的本征值),以及相关的观测概率(对应于系统状态在力学量本征态上的展开系数模方)。

基于这个思路,张朝阳以数学,或者更具体地说是线性代数,的方法研究了一个受扰动的二能级系统。这个能级有这样一些特征,比如在未受扰动时,系统可能处在|+⟩或者|-⟩态上,有对应的能量取值。受扰动后,系统哈密顿量在这组基矢下的矩阵表示不再是对角矩阵

其中

此时,它的本征态应该重新取为|ψ+⟩和|ψ-⟩。系统的任意一个态|ψ⟩都能分别用未受扰动的和受扰动的本征态作为基矢展开,如果写成矩阵的形式,可以记为

两种表达方式之间可以通过转换矩阵联系起来,即可以找到一个矩阵

满足等式

在上一节课中,张朝阳提出,由于要求变换之后的基底保持正交归一,表面上应该由4个待定复数或者说8个待定实数构成的转换矩阵其实可以重新参数化成

而后者只依赖于两个实参数θ和ϕ。这是因为首先正交归一条件给出4个限制待定参数取值的方程;同时,变换之后得到2个基矢的相位可以任意选取,于是事实上要求解的参数仅有

个。直接计算不难验证其正交归一性,且由于其行列式

它的逆也可以很方便地求得,即

将上面的结果代入到具体的矩阵运算中,再经过一定化简,可以得到方程

不难解出受扰动后的能量观测结果可能取为

其中

具体的计算过程已在上节课中做过详细推导,这里不再赘述。

更细致地,我们可以进一步求出转换矩阵的具体形式,也就是将参数θ和ϕ完全确定下来。同样是利用上述方程组,将(3)两边取绝对值后,再结合(2)可得

即可反解出参数θ。对参数ϕ,注意到等式(3)左侧

是实数,这提示我们ϕ事实上与等式右边的复平面幅角有关。于是,如果记

应当有

反解出参数ϕ后即可将转换矩阵完全确定下来。至此,我们完成了对一个受扰动的二能级系统的定态能级的分析。

(张朝阳求解不同表象之间的转换矩阵)

二能级系统的含时演化和拉比振荡

接下来,正如在之前课程中所做那样,张朝阳要问自己的下一个问题是:这样一个受扰动的二能级系统如何随着时间演化?更具体的描述是,如果现在有一个合适的装置,可以告诉我们一个未受微扰的二能级系统是处于|+⟩还是|-⟩态上,那么一个在初始时刻(t = 0)完全处于|+⟩上的系统,经受一定时间的扰动后,它跃迁到|-⟩态上的概率是多少?

分析一个系统的演化行为需要用到完整的含时薛定谔方程。在前面研究波包演化的课程中,我们收获了这样一条经验:如果在初始时刻系统的状态可以用哈密顿算符的本征态进行展开,那么其后它在任意时刻的状态,都可以认为是各分量加上正比于本征能量的含时相位后,再重新组合得到的结果。

然而,加入微扰后,|+⟩和|-⟩不再是系统总哈密顿量算符的本征态,不便直接使用这条经验。此时,前面所作的对角化的工作其意义即可不言自明。利用得到的含扰动项的哈密顿量算符的本征态为基,可以求得展开

按照前述方法,立刻可以知道

而具体的计算仍可以借助线性代数的运算完成。首先,按照上一节约定的符号,取初始时刻系统状态的矩阵表示为

经过一定时间的演化后,应当有

如果此时用仪器去进行观测,即在|±⟩的表象下看,有

如果只关心它在|-⟩上的分量大小,仅需要计算

利用欧拉公式,可以将它进一步化简为

相对应地,系统跃迁到|-⟩态地概率是

在前面我们已经求得参数θ于能量算符的矩阵表示分量之间的关系,利用恒等式

以及考虑取θ在0到π/2之间取值,可以得到

于是

总的来说,我们可以得到

更直观地,这个时间的函数可以示意如下图:

这个结果告诉我们,系统跃迁的概率随着时间流逝按照一定的周期在持续振荡。利用等式

可知,系统在

时刻达到最大值

不难发现,这种振荡的频率和幅度都与扰动强度,也即是非对角元的模长直接相关。如果讲扰动项置零,振荡将会消失,系统保持在|+⟩上随时间仅有相位的变化,即可回到是此前研究过的、可以类比为“拉莫进动”的演化。而当有微扰存在时,这种由微扰造成的、系统“在两个能级之间振荡”的现象最初由拉比(Rabi)提出,于是又被命名为“拉比振荡”(Rabi's oscillation),它是核磁共振等现代技术的物理基础。

(张朝阳推导拉比振荡)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

旋转角度的确定

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