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线性代数如何帮助我们描述微观世界?《张朝阳的物理课》求解矩阵对角化问题

原标题:线性代数如何帮助我们描述微观世界?《张朝阳的物理课》求解矩阵对角化问题

什么是量子力学的矩阵力学形式?线性代数如何恰当地描述量子世界?数学上如何严格求解一个微观系统的能量本征值和本征态?

6月2日12时,《张朝阳的物理课》第147期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先带大家复习了如何以矩阵力学方法处理自旋系统,然后引申出现代量子力学的数学基础——希尔伯特空间,介绍了以矢量描述系统状态、算符描述力学量这一基本概念。

张朝阳指出,如果约定好一组基矢,可以将态矢和算符都表示成矩阵的形式,进而量子力学的计算都可以等价于矩阵运算。特别地,求解算符的本征问题等价于寻找一个恰当的转换矩阵,使得算符在新基矢下是一个对角矩阵。基于此,他以线性代数的方法,再一次严格求解了上一节课中受扰动的二能级系统能量本征值问题,得到了一致的结果。

量子系统用希尔伯特空间描述

在量子力学的发展早期,海森堡和薛定谔各自独立地提出了它的矩阵力学形式和波动力学形式。形式上,前者更多地着眼于可观测量的计算,而后者着眼于对量子态更直观和详细的描述。从直观的角度判断,波动力学形式可能更容易为人接受。

它告诉我们,只要通过约定解薛定谔方程,就能得知一个量子系统在时空上的演化行为——正如我们在经典力学中所做的那样,无非是将求解具体的运动轨迹换成了求解波函数。顺着波动力学的思路,张朝阳曾详细讨论了氢原子的能级、波包的运动和演化等一系列问题,得以从中一窥诡异但美丽的微观世界的真理。

到现代,我们知道,量子力学的这两种形式事实上是等价的,正如张朝阳所比喻的,“无非是喜马拉雅山的南坡北坡,都可以登顶”。在最近的物理课上,他将注意力转向海森堡的矩阵力学,通过对电子的自旋和更为普遍的二能级系统的分析逐步探索矩阵力学形式的精妙。

为了谈论矩阵力学,我们首先要认识一下希尔伯特空间(Hilbert space)。现代量子力学认为,一个微观系统的量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量|ψ⟩ 来描述。如果这个系统是二能级系统,我们总能在它的希尔伯特空间中找到一组(两个)正交归一的矢量|+⟩ 和|-⟩ 称之为基矢,使得空间中任意一个态矢(右矢)都能表达为它们的线性叠加

为了理解方便,张朝阳将它和一个我们熟悉的的二维平面空间做了一个对比。可以发现,两个基矢好比平面上两个方向矢量i和j,平面上任意一个矢量都可以写为

接下来,为了理解“正交”和“归一”的意义,我们还要先引入内积(inner product)的概念。在前面波动力学的过程中我们往往要计算积分

它事实上即是坐标表象下的“内积”的表达。更一般地,内积可以抽象为一个左矢和一个右矢的乘积

所谓“左矢”是右矢的共轭,对任意一个右矢,它对应的左矢可以记为

于是,基矢的“归一”即是要求

而“正交”则是要求

利用这些定义,不难知道一个任意态矢的归一化可以表达为

即系数的模长加和为一,这和此前我们所学的量子力学的概率诠释是一致的。

了解了希尔伯特空间及其中的态矢后,我们还要关注其上算符(operator)的定义。算符的意义是将其作用到一个希尔伯特空间中的一个态矢上,改变它,以获得同空间中的另一个态矢

但是特别地,如果它作用的态矢——比如两个基矢——恰好是算符的本征态,作用的结果仍是它自己,只不过会额外带来一个系数的区别,又称称该系数为本征值。

在量子力学中,物理的力学量即对应一个厄密算符。给定某个态时,对力学量的观测结果的平均值可以这样计算:先把算符作用到对应的态上,再和同一个态求内积,即

将态矢按基矢的展开式代入,可以得到

即平均值等于算符本征值按展开系数模长平方加权平均,再次看到与概率诠释保持一致。典型的力学量算符有动量算符、角动量算符和能量算符等。其中能量算符或者说哈密顿量(Hamiltonian)算符是最特殊的,它决定了微观系统的演化方式。如果一个系统处在能量本征态下,它的含时变化就仅有相位上的改变,又称系统处于一个定态上。

(张朝阳介绍希尔伯特空间)

矩阵表达和基矢(表象)之间的变换

如果事先已经约定好取希尔伯特空间中的一组基矢,比如|+⟩ 和|-⟩ ,我们只需要一组系数α和β,就一定能确定出空间中的一个态矢

反之亦然。如果将这两个系数写成列向量的形式,即可以讲任意一个态矢和某个矩阵对应起来

相应地,按定义一个算符作用到|ψ>上变成另一个态矢,记为

利用矩阵的语言,它对应的其实是一个描述系数之间转换关系的方矩阵

特别地,对某个力学量对应的厄密矩阵,有两非对角元互为复共轭

要求四个分量满足恒等式

这里有一个需要特别注意的关键点是,为了用矩阵的语言将态矢表述为一个2×1的矩阵、将算符表述为一个2×2的矩阵,首先要约定好希尔伯特空间中的一组基矢,物理上又称为选择一个特定的表象。假设选取的基矢|±⟩ 恰好是算符H的本征态,由于此时

由上一节的讨论不难看出该算符对应的应该是一个对角矩阵

对角元即是对应态矢的本征值。相反,非对角元的出现喻示着我们所选基底并非算符的本征态,张朝阳解释道,这是因为写下算符时约定的基矢并不是为算符定制的、属于它自己的,非对角元体现了它们之间的不匹配。矩阵的对角化即是找本征态和本征值的过程。

在量子力学的研究中,对力学量算符,特别是能量算符的本征态和本征值求解往往至关重要。在许多实例中,比如上节课讨论过的受扰动的系统中,由于扰动的存在,我们关心的某个力学量S_z和总哈密顿量不再对易,本征态不再保持一致。

此时,如果仍然用S_z的本征态作为基矢描述希尔伯特空间,对系统随时间演化的研究就会变得复杂而困难。一种方便的做法即是先对角化能量算符对应的矩阵表达,求出受扰动的能量算符的本征态和本征值。此后,含时演化问题即可以用我们熟悉的、加相位再重新组合的方法给出解答。

更普遍地,如果记任意两组基矢为|±>和|ψ±>(注意不一定取某一组为本征态),一个态矢在两种表象中分别对应不同的系数矩阵

注意到后一组基矢中的每一个态也总能表达为前一组基矢的线性叠加

于是有

用矩阵的记法,即

以小写字母表达的方阵给出了两组基矢之间的联系,称之为表象之间的转换矩阵。

我们引入不加修饰的大写字母表示列矢量,以带上波浪线的大写字母代表方阵,比如以X、Y分别代表两组基矢下的系数矩阵,带上波浪线的T代表转换矩阵,则上式可以写为

再定义左矢对应的系数矩阵为右矢矩阵先取转置、再取复共轭的结果,则其内积在H在|±⟩ 表象下可以表达为

再考虑某个力学量,求其平均值的算式可以写为

而如果考虑转换到|ψ±⟩ 表象下表达,其结果应该保持相等,即

由于上式应该对任意态成立,所以要求有

即不同表象下算符的矩阵表达也通过转换矩阵相联系。

(张朝阳推导不同表象之间的转换矩阵)

从线性代数运算的角度作矩阵对角化

为了方便理解上述数学结果,我们可以将它应用到上一节课的二能级系统,以线性代数运算的方法再一次求解存在扰动项时的二能级系统的能级。为了讲述方便,这里我们不再细致地划分系统哈密顿量和扰动项,而是直接记

在上一节课中,张朝阳巧妙地利用重定义的参数

将上式子改写为

其中

利用前面求得的任意方向上的泡利矩阵的本征态,很快可以解得扰动下两个能级的能量取为

如果不经过巧妙的重写,而是试图直接去求解算符或者说对应矩阵的本征态和本征值,结合本节课的内容,它等价于在上一节最后所提的变换关系中,使得带上波浪线的E取为对角矩阵

首先注意到方程可以改写为

其中而取共轭转置即是

而逆矩阵也有非常简单的表达

将各个矩阵显式地代入,经过细心的计算可以得到等式

按分量相等,由于非对角元互为共轭,我们总共得到三条独立的方程。

进一步地,我们希望变换后的矩阵式正交归一的,也即是要求

借鉴上一节课的结果,我们可以“偷懒”猜一个形式,将四个系数取为

通过代入不难验证这种取法满足正交归一的要求。于是,由矩阵转换恒等式得到的三条方程可以写为

利用(1)+(2),可以得到

利用(1)-(2),可以得到

也即

而(3)可以重写为

立刻知道有

结合(5)可以解得

不难看到,这个结果和之前我们通过任意方向的泡利矩阵算得的结果是一致的。

(张朝阳利用计算矩阵本征值)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

正交归一性对变换矩阵形式的限制

通过待定系数法得到Hamiltonian本征值

Hilbert空间中的神奇动物态矢量

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