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束缚在一点的粒子有无穷大的速度?《张朝阳的物理课》验证不确定性关系

解薛定谔方程的数学技巧中蕴藏着怎样的物理原理?为何被紧束缚在一点的粒子会瞬间弥散?一个可以真实存在的高斯波包如何自由地演化?

3月12日12时,《张朝阳的物理课》第130期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,首先带领大家复习了如何在方程中引入虚数来实现对量子世界的描述,然后解释了其中涉及的数学方法对应的物理思想,自然地引入了动量空间和坐标空间的概念。分别在两个空间下研究狄拉克δ波包和高斯波包的演化,可以对狄拉克δ波包均匀弥散做出合理的解释,并且验证两种波包的演化都满足量子力学中的不确定性原理。

偏微分方程技巧的物理诠释 狄拉克δ波包的演化图像

在上一次的直播课中,张朝阳从解偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)的角度重新回顾量子力学薛定谔方程:

并用分离变量法和格林函数法给出了粒子不受力,即V(x) = 0时,自由粒子薛定谔方程的解的一般形式

这里f(y)是初始时刻粒子的波函数,Φ(t,x-y)被称为格林函数或者传播子,描述了初始时候在y点处的一个小波包随时间t的演化过程。承接上一节课的内容,张朝阳将在本次课程中,与各位观众一起继续深入探索薛定谔方程所描述的、一个微观粒子随时间流逝不断演化的物理图景。

本次直播课程开始时,张朝阳首先回顾了在物理问题中引入复数带来的影响。从物理的角度来说,它带来了量子力学的概率诠释,在物理化学和生命科学领域取得巨大成功;从数学的角度来说,它要求我们重新审视解经典偏微分方程各种方法的合理性,比如高斯积分:

在a取到虚数时的正确性。为了各位观众能够更好地理解其中关键点,张朝阳重新整理了上节课中对高斯积分的求解过程,补充了从积分问题转化到几何问题过程中的细节。利用高斯积分,张朝阳计算得知初始时刻一个被束缚在原点处的粒子——用狄拉克函数δ(x)表示,将在下一瞬间均匀弥散到整个空间。相对应的波函数和概率密度是:

怎样从物理上理解这个问题呢?解PDE的过程有没有对应的物理诠释?这是张朝阳在准备课程中问自己的问题。

张朝阳发现,在偏微分方程三板斧的“第二板斧”,即初始条件时,我们要计算积分:

中的系数c_k。注意到在量子力学中,动量算符的定义是:

作用于积分中的函数e^{ikx}得到:

表明这个函数其实是动量算符的本征函数(Eigen function)。它对应的本征值为(Eigenvalue):

在量子力学中被解释为一个微观粒子允许取到的动量。这样,数学上表征函数振荡频率的波数k就和物理上的动量有了对应关系。同时,注意到这个函数也是哈密顿量的本征态,因为:

也就是说,当一个自由粒子的动量确定的时候,它的能量也随之确定,这一点和我们从经典力学中学到的物理规律是一致的。有了这些准备之后,让我们再回头看系数的计算。现在我们就理解了,这个关于系数计算的数学表达式描述了这样一件事:空间上的一个分布的波函数,它本身的动量或能量的取值都是不确定的,它本身即是由多个对应着不同但确定的动量或能量(以不同k值区分)的波函数,以系数f(y)作线性叠加而来。这样,我们就用量子力学波函数叠加原理看到了数学计算的具体意义。张朝阳指出,事实上在量子力学中一般会记c_k = φ(k),表示它是动量空间(k空间)上的一个函数。它和坐标空间上的函数f(x)是一一对应的,相互之间通过傅里叶变换相互转化。

现在来重新理解狄拉克δ波包的演化,注意到:

也就是:

从动量空间的角度,在初始时刻,这个粒子的波函数是由动量从负无穷到正无穷所有可能的取值对应的波函数叠加而来的,而且取到不同动量的可能性是均等的。张朝阳解释,根据不确定性原理,因为初始时刻我们精确知道了粒子处在某一点上,所以我们理应得不到关于动量的任何信息。无穷大的动量意味着无穷大的速度,只要经过任意小的时间,比如0.000000....1s,它都有可能跑到世界上的任意一个角落——哪怕它在无穷远的天涯。所以开始演化之后,在任意地方找到粒子的概率都是相等的。关于无限大的速度,张朝阳评述,这是薛定谔直接从牛顿力学引入量子力学造成的结果。在薛定谔提出他著名的方程的时候,并没有引入任何关于相对论的考虑,所以它无视了现在我们熟知的光速最大原理目前也是可以接受的。

(张朝阳用高斯波包验证不确定性关系)

一个高斯波包的自由演化

在对狄拉克δ波包的分析中出现了无穷大的速度,说明这个模型并不是一个非常真实的物理模型。为了更好地理解微观粒子的自由演化和不确定性原理在其中起到的作用,张朝阳提出可以再看一个在相对真实、但是处理起来又不过于复杂的初始波函数。它是一个高斯波包(Gaussian wave packet):

其中系数A由归一化条件决定,即:

首先可以在初始t = 0时,同时从动量空间和坐标空间分析它的物理性质。首先求它的傅里叶变换:

对它做一个平移,令:

再利用高斯积分的结果,即有:

对比两个结果,并取模方求得概率密度,可知再坐标空间中,粒子的概率密度是:

在动量空间中,粒子的概率密度是:

二者都是高斯分布。

高斯分布意味着,虽然这个粒子还是所有可能的能量或动量本征函数叠加的结果,但是其中起主导作用的仅仅是围绕在原点附近的少许部分(如图中虚线所围内部)。

张朝阳将其与之前分析δ函数在图像上做了一个对比,可以清晰地看出两者之间的区别。现在来描述这个主导部分的多少,也就是波包的宽度。在物理上,我们用方均根表征这个量,它的定义是对应一个物理量X:

其中<·>是取概率平均的意义,注意到这两个概率密度都是关于y轴对称分布的,所以:

而对于一个高斯分布:

可以计算到:

利用高斯积分的结果,可知:

所以,分别应用到动量空间和坐标空间的概率密度分布上,可以得到:

将它们相乘,立刻可以验证不确定性原理(Uncertainty principle):

事实上,海森堡不确定性原理指出:

而对于这个初始时刻的高斯波包,我们恰好有等号成立。张朝阳评价这是一个非常神奇而且漂亮的结果——对这样一个粒子同时测量它的位置和动量,将得到自然允许我们达到的最精确的结果。

现在来探讨,随着时间流逝,这个粒子将会如何演化。将这个高斯波包代回到上一节课得到的,自由粒子波函数的一般形式:

首先令:

可以将积分改写成

现在又可以回到我们应该已经很熟悉的变量平移以及对高斯积分结果的应用。值得注意的是,令

得到的高斯积分的参数既有实部也有虚部,而且实部a>0。这个积分是自然收敛的,不需要引入上一节课的技巧来重新证明它的结果。此处有:

于是波函数可以被表达为:

将指数部分分离出虚部和实部,得到:

对应的概率密度为:

(张朝阳计算高斯波包随时间演化结果)

按照同样的办法可以求出这个高斯分布的均方根:

可以看到在动量空间,这个波包的展宽随着时间的推移在逐渐变大,换而言之,一个高斯波包在演化中会逐渐往四周弥散,正如之前研究过的δ波包。但是这种弥散不同于δ波包,它的弥散速度是有限的。

另一方面,可以发现在动量空间上的波包并不随时间推移而延展。随着时间的演化:

仅与初始波函数有一个相位上的区别,从概率密度的角度看没有任何变化。于是:

再次将两个展宽相乘:

随着时间的流逝,微观粒子的演化依然满足不确定性原理。但是值得注意的是,在开始演化后,这个量子系统的不确定性关系并不能总是取到等号,而是在以一种双曲函数的趋势逐渐增加的,也就是说,我们对整个系统的信息的了解将会越来越少。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下:

用格林函数处理高斯波包含时问题

高斯波包的含时问题讨论

δ(x)型初值含时解的物理意

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