你是否曾有过困惑，为什么铁锅用木柄就不会很烫？为什么蓬松的羽绒更加保暖？你是否曾感到好奇，与我们生活息息相关的热现象背后的规律是什么样子的？
在3月5日张朝阳的物理课中，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳就这个问题，为广大网友带来了一场畅快淋漓的物理课，将热和热传导问题中的数学与物理规律展示给大家，并且为大家提供了求解这类问题的一般方法。
大规模物质的描述：场
为了研究物体运动的规律，我们需要合理的描述方式。在宏观世界中，我们面对的往往是拥有大量物质的连续系统，如一段管道中的水流，一瓶溶液中的物质。热现象中我们要处理的问题是类似的，但我们关注的是一段连续介质里温度的分布，同时它也可能会依赖于时间。像这样的在每个空间位置和时刻都有着确定的物理量的描述方式就是场。
正如前面所说，对于一段管道中的水流，我们会描述某个时刻t和某个位置矢量r处的流速场v(t,r)，依赖于空间和时间的物理量是速度矢量；而对于一瓶溶液中的物质，自然的选择是考察它的浓度场n(t,r)。在热传导现象的研究里，我们考虑的是物质中的温度场T(t,r)。如果我们能够根据物理规律写出温度场满足的微分方程，那么就可以获得关于温度场的所有认识。而由于场通常是同时依赖于时间和空间的函数，我们需要使用偏微分方程作为主要的数学工具。
Fourier导热定律
关于热传导现象的解析研究工作是由法国物理学家Fourier在1822年确立的。为了纪念他在热传导领域的贡献，导热定律现在以他的名字命名。考察介质中某处微小的界面dS，如果假设其法向方向为n矢量，定义单位时间内通过该界面沿着其法向方向传导过去的热量为dQ/dt，那么Fourier导热定律指出：该量应当正比于界面两侧的温度沿着法线方向的变化率和截面面积。换言之：
其中q为热流，比例系数κ为热导率。κ是一个与介质状态有关的量，在多数固体问题中，当温度变化不大时我们可以近似认为它是一个常数。等式右边包含温度沿着法线方向的导数，负号则代表热流总是从高温区域指向低温区域，这也符合热力学第二定律的要求。
我们来考察“温度场沿着面元法向的导数”是如何同“温度场作为空间位置的函数”联系起来的。我们将温度沿着法向的变化按照Taylor展开到一阶，可以得到
可以证明，(Δx,Δy,Δz)/Δl构成了沿着面元法向的单位矢量n，因此导热定律也可以写成
热流也习惯于用矢量的方式表示为q = -κ∇T。
我们考虑介质中任意形状的有限区域V，其边界记作S。按照热流的物理意义，单位时间从该区域传出的热量应当由热流矢量在曲面S上的积分给出：
我们分析这个表达式。对于等号右边，我们总可以使用导热定律和Gauss定理将之写为体积分的形式
而对于等号左边，在不考虑介质的空间运动时，依热力学第一定律，其失去的热量总等于其内能的降低。因此我们可以写出
其中c为介质的比热容，ρ为介质的密度。如果等式在任何区域上成立，那么只能是其被积函数对应相等。注意到∇⋅∇ = ∇2正是Laplacian算符，我们可以写出关于温度场的方程
为了方程的简洁，我们记α = κ/(cρ)，则方程可以简写为
这是一个关于温度场的偏微分方程，也被称为热传导方程。
一维情形的热传导
作为一个例子，我们来展示一维情形的热传导方程如何处理：
我们假设介质各处的热导率κ，比热容c和密度ρ都是均匀的，且不随时间变化，则α = κ/(cρ)是一个与空间位置和时间无关的常数，也被称为热扩散率。我们可以通过分离变量法来处理这样的方程，它的基本流程如下：我们假设温度场有着分离变量的形式，即T(t,x) = g(t)h(x)，将此形式代入方程来找到令方程成立的未知函数g,h。整理得到
可以看到，方程左边只是t的函数，而右边则只是x的函数。这样的等式要想成立，只有一种可能性，即等号两边为一个相等的常数，记作λ。从而我们能够得到对应的解：
其中k = √(-λ/α)。完整地求解这样的偏微分方程需要我们根据边界条件选择适当的h(x)的形式以及允许的λ的值，然后根据初始条件来确定剩余的未知系数。通常在恒温或者绝热边界条件下，我们预期经过足够长的时间之后，介质会达到稳恒状态并具有确定的温度，而不会无限制的增长。这要求λ的许可值为负数，而三角函数求两次导数刚好会出一个负号，这也是我们选择三角函数形式的h的原因。
我们通过一个具体的情景来展示上面描述的普遍求解流程是如何进行的。考虑一个有限长的导热杆，其长度为a且左端点置于原点处，即0 ≤ x ≤ a，我们选择两端恒定温度的Dirichlet型边界条件的情形进行研究。正如上面的分析，普遍的解的形式应当有
式中T∞是一个常数项，它对应于时间足够长后稳恒状态的温度，亦即两端恒温热源的温度。那么边界条件就要求后面的三角级数在x = 0和x = a处总是为0。为了满足这个要求，我们必须要求余弦函数的系数均为0，同时正弦函数中存在ka = nπ，其中n为整数。这样，边界条件的存在将方程的可能解约束为
接下来，我们需要通过初始条件来确定系数cn。设初始时的温度场满足T(0,x) = f(x)，即应当有
这个形式事实上就是在把函数f(x)展开成为三角级数。利用三角函数的正交性:
以及
我们可以给出系数的表达式
注意常数项与正弦函数的乘积对周期的积分总是为0。上面这种将函数按照三角级数展开的数学方法最早是由Fourier在对热传导问题的研究中提出来的，也被称为Fourier级数。
我们考虑一种特殊的初始条件:在0 ≤ x ≤ a上f(x) = T0，它只在边界处急剧地变成热源的温度即T∞。我们可以积分得到
因此我们就能给出这个问题里每一时刻的温度场
随着时间流逝，温度场将趋向于变成稳恒状态，整个导热杆的温度变成均匀温度T∞。
上面我们讨论的是两端恒定温度的导热杆，事实上我们也可能遇到绝热边界条件的情形。此时导热杆两端与热源完全没有热交换，所要求的边界条件即在两端处的温度梯度总为0。这个边界条件要求解具有
的形式，这是因为余弦函数能够使两端的导数为0。但我们会发现，此时为了让温度分布满足初始条件，即t = 0时的温度场为一常数，就只能取dn = 0以及T∞ = T0。这符合我们的物理直觉：绝热条件下杆应当和热源没有热交换，那么杆上初始均匀的温度场自然不应当发生变化。与之相对的，恒温边界条件相当于在杆两端存在无穷大的导热系数来让热源能够立即将热量传入或者传出，因此带来了杆上随时间变化的温度场。
无穷长导热杆的热传导问题
在有限长的导热杆问题中，边界条件对空间频率k提出了要求。而在无穷长的情形下，不再存在边界条件来限制h的取法。这使得三角函数的任意组合都能够成为许可的解，同时k的取值也变得连续。我们来证明普遍的温度场可以写为
的形式。为此，我们从复数的三角函数表达式出发：
从中可以反解出
那么三角函数形式的解的一般形式就可以写为
我们分析含有e-ikx的积分，做变量替换y = -k，则可以写为
代入原本的形式并合并同类项给出（注意积分变量y可以写为任意字母而不改变积分的结果）
令系数
注意一般的ck不再是实数。
我们现在考虑利用初始条件T(0,x) = f(x)来确定系数ck的值。应当有
等号两边乘e-ik'x并对全空间积分，利用Dirac-δ函数的性质：
我们得到
从而可以写出系数的形式：
代入前面的解的普遍形式，我们有
如果我们定义函数
那么对任意的初始条件T(0,x) = f(x)，热传导方程的解都可以形式化地写为
物理上，这个结果可以这样理解：在t = 0时刻，空间中存在形式为Tδ(0,x;y) = δ(x-y)的温度场，其含义即在x = y位置存在一个温度尖峰。由于Dirac-δ函数正是所有平面波的等权重叠加，在接下来的时间里温度场的演化自然成为
显然，这些Tδ温度场正是我们上面得到的Φ(t,x-y)。现在考虑初始化温度场f(x)作为这样的Dirac-δ函数的叠加：
按照热传导方程的线性特性，它的时间演化也应当是每个位置处Tδ按照相应权重的叠加，亦即
这种计算Dirac-δ函数的响应的方法在物理学中也被称为Green函数方法（格林函数法，Green function method），前面的Φ(t,x-y)也被称为Green函数。下面我们显式地给出它的形式。
在最后一个等号，我们采取了变量替换z = k-i(x-y)/(2αt)来将积分转化为了Gauss积分。可以积分给出Green函数的显式形式：
为一个Gauss函数。事实上前面Φ(t,x-y)的积分形式正是Gauss函数的Fourier变换，它同样是个Gauss函数。
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本节课相关视频如下：
无限长杆的形式解
解的讨论与格林函数计算
利用初始条件求系数
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