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鸡蛋在沸水中如何受热?《张朝阳的物理课》求解三维球体热传导方程

原标题:鸡蛋在沸水中如何受热?《张朝阳的物理课》求解三维球体热传导方程

怎么描述三维情况下的热传导方程?数学上需要进行什么样的处理?如何通过球体的Biot值Bi理解球体的导热过程?

2月17日和2月19日12时,《张朝阳的物理课》第一百二十四期和第一百二十五期分别开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了一维情况下的热传导方程,然后通过球体的对称性求解了三维球体的热传导方程,并成功得到其温度分布,之后又通过不同的边界条件,借助正交基的方法,解释了不同材料在不同温度条件下的温度分布方程。

求解球体在恒温液体中的温场分布 以及Biot数的物理意义和图解方法

在之前的直播课程中已介绍过一维热传导方程:

其中κ是傅里叶导热定律中的系数,ρ是物质密度,Cv是单位质量的定体热容。与此类似,可以知道三维情况下的热传导方程如下:

对于一个球体而言,张朝阳用分离变量的方法:

将其代入前式可得:

其中,倒三角的平方符号是径向的拉普拉斯算符。

将相同变量函数整理到等式同一侧,则由于两边变量独立,等式成立的条件是该等式两边同时等于一个常数,我们这里设它为β,即可得到:

继而对于时间函数g(t) 就有:

因此可以得到g(t)是一个关于e指数的函数,即:

然后对于h(r),代入球坐标的拉普拉斯算子,可得:

同时使用比耐变换(Binet Equation,即通过将换元的方法化简方程,也可用于中心力场的公式推导)可以得到如下方程

这里猜测u(r)的形式为正弦和余弦函数,所以h(r)的形式是正弦和余弦函数除以r的形式,再结合前面g(t)的e指数形式,可以得到T(r,t)的形式为:

首先使用球体的边界条件,即球体温度关于球体中心对称且球心处热流为0:

带入前面的方程,可以发现余弦项的系数必须取0才能保证边界条件始终成立(由于余弦函数和r的比值是奇函数,且它的导数在r = 0的地方趋近于无穷大,所以Bk必须取0才能满足求新的边界条件)

我们建立一个类似于鸡蛋在沸水中的模型,在这种情况下可以认为球体外部是一个恒温液体环境,也即假设外界的热容无限大。根据牛顿冷却定律(即一个物体所损失的热的速率与物体和其周围环境间的温度差为正比例关系)可以列出以下方程

等式右边的C的含义是传热系数,T∞表示球体外恒温液体的温度,是一个常数。将前述T(t , r)的具体表达式代入上述边界条件,可以得到:

公式两边相等,即要求两边相同指数项的系数相等。

张朝阳推导球体温度场分布

对于常数项而言有

所以可以得出:

同理,张朝阳根据每个指数项的系数推导出了如下公式

张朝阳指出,这里的(Bi-1)要和-(ki R)cot(ki R)相等是一个很有意思的地方。张朝阳通过作图来画出它们的交点,非常直接地讲明ki和Bi的值的关系。其中Bi表示Biot number,即毕渥准则数,或简称毕渥数,它是表征系统传热学特征的一个重要的无量纲数。当Bi小于1的时候意味着外部热阻远大于内部热阻,也就是球体的导热速度很快;在Bi小于等于0.1的时候内部温差会在5%以内,这时一般可认为球体温度近似均匀,大多数的金属球都有类似性质。而对于一些高分子材料,可能会存在Bi远大于1的情况,这时内部热阻远大于外部热阻,导致球内的温度变化并不统一,从而形成一定的温度梯度。

张朝阳讲解Bi值

球体散热方程求解: 高Bi值及一般情况

在2月17日的课程中,我们知道了外部温度恒定条件下的热传导方程的形式,在2月19日的课程中,张朝阳先举了一个相对比较极端的例子——Bi值非常高的情况,对此我们可以从上节课的图解中得到:

这个公式我们后面会用到。依然是拿出上次课程中推算的通解:

我们随后引入t = 0的初始条件:

为了求出其中的系数Ak,张朝阳巧妙地引入了一组正交基:

找到这组正交基的一种方法是通过r的平方来促成两个函数变为傅里叶正交基,另一种方法就是对于球坐标而言本来就会引入r的平方

这里的Ω是微体积元对应的立体角,相应的

在之前使用了t = 0的初始条件后得到的等式左右分别都乘以正交基并积分之后,如下操作:

即可得到:

利用三角函数倍角公式进行化简,又由于正交基的存在,只有ki等于k的时候积分结果才不等于0:

左边将函数变为对k的偏导数

对于我们之前预设的条件,Bi远大于1的情况,可以得到:

那么代入刚刚得到的等式中即可得到:

张朝阳推导傅里叶级数

对于Bi无限大的球体中心的温度Tc而言有:

这样我们就得到了在生物物理领域经常使用的蛋白质散热方程。

同样是使用上面的正交基,对于一般的情况而言(不限制Bi)的值我们可以推导出以下公式:

张朝阳讲解一般情况下的球体散热方程,并推回之前的极端情况

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下:

极端情况下的边界条件:

一般解在极端情况下的验证:

极端情况的求解:

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