潮汐力为何能撕裂天体？什么是洛希极限？什么因素影响洛希极限的计算？1月20日12时，《张朝阳的物理课》第一百一十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先用一段动画给网友们演示了洛希极限的产生与意义，之后写出地球引力势以及平动月球参考系中的离心势，根据力场与势场的关系求得地球的潮汐力，潮汐力与球体月球自身的引力相平衡时得到洛希极限。随后指出月球是球体这一假设的不合理性，转而计算椭球形月球自身的引力，并求得其洛希极限，发现考虑形变会增大洛希极限，最后给出流体洛希极限的正确表达式。
潮汐力与自身引力相互竞争 计算球形月球的洛希极限
之前关于潮汐的直播课程中，月球被看作质点，研究其引力在地球上产生的潮汐作用。这节课则反过来，把地球看作质点，研究其引力在月球上产生的潮汐作用。
如上图所示，设地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球中心与月球中心都在z轴上。由于整个系统关于z轴具有旋转对称性，只需选一个包含z轴所在的平面研究即可，于是建立以z为极轴的极坐标系。坐标原点是月球中心，平面上其它点用其位矢与极轴的夹角θ和到原点的距离r来描述。另外，l是点到地球中心的距离，而a是月球中心到地球中心的距离。在之前计算月球潮汐时，已指出地球的引力势可用勒让德多项式展开，同样的，这里月球的引力势与地球的引力势具有同样的形式，也可用勒让德多项式展开。保留到二阶勒让德多项式的地球引力势可写为：
其中已将P0(cosθ) = 1代入。
与之前分析月球潮汐的情况一样，张朝阳选取的是绕地月质心平动旋转的参考系，只不过这时参考系的原点是固定在月球的中心，而不是地球中心。那么根据之前的课程内容，可知该平动参考系中由于有匀强的离心力场，对应的离心势为：
其中，ω是地月公转角速度，r2是月球中心到地月质心的距离，上式第二个等号用到了角速度公式ω^2=G(m1+m2)/a^3以及质心位置公式r2=a m1/(m1+m2) 。
注意到P1(cosθ) = cosθ，可以发现地球引力势的第二项与离心势相消，地球引力势与离心势之和为：
那么根据力场与势场的关系，该非惯性系中，物体受到的对应的力场为：
这就是地球产生的潮汐力。
接下来只考虑月球上最靠近地球的微元的受力。由于z轴的方向是从月球中心指向地球中心，该微元的位置在θ=0处，这时注意到ϕt中的二阶勒让德多项式的表达式为：
对它关于θ求导后得到-3cosθsinθ，而θ等于零，所以根据地球的潮汐力公式可知该点的潮汐力没有e_θ方向的分量，只有e_r方向的分量。设r_m为θ等于零时月球表面到月球中心的距离，那么月球上最靠近地球的微元感受到的力场为：
方向沿着径向指向外。
假设月球是个完美球形，那么根据牛顿万有引力公式，可知最靠近地球的微元感受到的月球自身的力场为：
方向指向月球中心，与潮汐力方向相反。
注意月球自身的引力与地月距离a无关，而潮汐力的大小与a^3成反比，即月球越靠近地球，潮汐力越大。假设月球是流体，当地月距离较大时，微元感受到的地球潮汐力比月球自身的引力小，微元被“按”在月球表面，月球不会解体。而当地月距离较小时，微元受到的潮汐力比月球自身引力还要大，自身的引力将无法束缚住微元，从而微元将离开月球，发生解体。所以，当地球的潮汐力等于月球自身引力时，是月球开始解体的临界条件，这时的地月距离a称为洛希极限。根据临界条件可得洛希极限a满足：
将地球和月球看成近似密度均匀的物体，那么二者的质量可写成体积与密度的乘积：
其中，ρ_e是地球的平均密度，R_e是地球半径，ρ_m是月球的平均密度。
利用上述公式可进一步将洛希极限a写成：
将月球密度、地球密度与地球半径的具体数值代入，可得洛希极限的数值为：
所以，若月球逐渐靠近地球，当二者之间的距离到达6800 km时，月球开始解体。
（张朝阳假设月球是球体并计算洛希极限）
计算椭球形月球的自身引力 流体形变增大洛希极限
但实际上，上述关于流体洛希极限的计算是有误的，原因是假设了月球是流体后，月球就不可能是完美球形，只有理想刚体才能一直保持完美球形。流体会因为潮汐力而变形，当潮汐力不是非常大时，流体星球近似为椭球，根据之前关于固体潮的计算，这时星球自身的引力相比于球体时已经发生改变并且不可忽略。而当潮汐力更大的时候，自身引力相比球体时偏离更大，更不能再简单地用球体的引力来推导洛希极限。
由于直接计算流体月球的洛希极限还需求出潮汐力较大时月球的形状，过于复杂难以进行，于是张朝阳假设月球的形状为偏心率很小的椭球来计算洛希极限，以分析星体形变对洛希极限的影响。设月球的平均半径为Rm，极轴方向的月球半径为r_p，垂直极轴的方向的月球半径为r_e，那么月球的偏心率为：
那么根据偏心率为ε的均匀密度椭球的势场，可写出月球自身的引力势：
椭球形月球上最靠近地球的微元在θ=0处，对应的月球自身引力场为：
根据极坐标中椭圆用勒让德多项式展开的表达式，可知月球上最靠近地球的微元到月球中心的距离为：
将该距离代入力场表达式中，得到微元感受到月球的引力场为：
其中，第二行是由第一行关于ε泰勒展开并保留到ε的一阶项而得到的。
另外，将r_m的表达式代入之前求得的地球潮汐力公式中得到：
注意，由于ε很小，所以在所考虑的微元处月球引力与潮汐力方向相反，当它们大小相等时对应的地月距离a就是洛希极限，根据该临界条件可得a满足：
同样利用地球与月球质量与其自身密度和体积的关系式，可将洛希极限的表达式写成：
注意椭球形月球的极轴半径大于赤道半径，即ε<0，那么有：
于是，根据上述椭球形月球的洛希极限表达式，可知椭球体洛希极限其将大于球体洛希极限：
虽然当潮汐力逐渐增大使得ε过大时，上述近似将会失效，但上述计算足以说明地球潮汐力导致月球的形变，具有增大洛希极限的效果。对此可以做如下理解：在距离地球最近的微元处，月球自身的引力fm由于月球沿极轴的拉长而减弱，而潮汐力fe则因月球沿极轴的拉长而增加，所以形变有利于潮汐力解体月球。实际上，流体洛希极限的正确表达式为：
系数2.44相比系数1.26接近2倍关系，意味着开立方根前，实际系数是理想球体情况的七八倍，这说明实际情况形变非常大，椭球严重拉长，导致系数变化很大。其实在初步计算完刚体洛希极限后，可以发现洛希极限已经与地球半径相当，这种情况下，不仅引力很大，很多几何上的简单近似也不再成立，球体形变非常明显。
将地球密度、月球密度以及地球半径的具体数值代入上式，可求得真实的洛希极限为：
这比用球形月球计算得到的洛希极限大很多，月球在靠近地球至约1.3万公里时就已经开始解体了。
（张朝阳分析月球形变对洛希极限的影响）
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