在恒定压差下圆柱形管中粘滞流体的流速场如何随时间演化？怎么求解圆柱形管中的含时NS方程？如何用幂级数解法求解贝塞尔方程？《张朝阳的物理课》第一百一十五期在1月13日12时开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们复习了不同情况下的纳维尔-斯托克斯方程的特点，随后研究恒定截面的圆管中的流体，在恒定压差下从静止开始到流速稳定下来，流速场的演化过程。他先根据无穷长时间的渐进行为化简纳维尔-斯托克斯方程，利用分离变量法将方程的时间与空间分离，其中空间部分的微分方程化为贝塞尔方程。之后采用微分方程的幂级数解法求解贝塞尔方程，推导出递推公式并得到0阶贝塞尔函数，进一步根据边界条件确定了流速分布的形式，并引出了傅里叶-贝塞尔级数。
分析含时NS方程的渐进行为 分离变量得到贝塞尔方程
在之前的直播课程中，张朝阳介绍了流体力学中的基本概念，并推导了纳维尔-斯托克斯方程：
纳维尔-斯托克斯方程反映了不可压缩粘性流体流动的基本力学规律，它是一个非线性偏微分方程，一般情况下很难求解。之前的课程只讨论稳恒流动的情况，上述方程中关于时间偏导的项为零；即便如此，当流管形状不规则的时候，上式中的第二项不为零，此时若粘滞系数项也不为零，方程仍然很复杂。这里的形状规则是指流管的横截面形状大小方位处处相同，即截面恒定的情况，不满足此条件则称为形状不规则。
所以在之前的课程中，对于形状不规则流管，张朝阳要求粘滞系数为零，这样根据纳维尔-斯托克斯方程可以推导出伯努利原理。对于形状规则流管，流体微元的运动可以不具有加速度，流体可以做泊肃叶流动，所以上式的第二项为零，这样可以考虑粘滞系数不为零的情况，这时压强梯度与流体之间的粘滞力相抗衡，形成稳恒层流。但之前讨论的都是流速场与时间无关的稳恒流动，这节课将进军含时速度场的情况，具体是研究恒定截面的圆管中的流体，在恒定压差下从静止开始到流速稳定下来，流速场的演化过程。
与推导泊肃叶定律的情形类似，流体在一个半径为R的圆柱形管中流动，以管中心轴为z轴，建立柱坐标系。假设流体只有沿着z方向的速度，且具有绕z轴的旋转对称性。那么由于流体不可压缩，由流量守恒可知速度与坐标z无关，柱坐标系中流体的速度场可以写成：
其中，e_z是沿z轴正方向的单位向量。
由于流速与z无关，可得上述纳维尔-斯托克斯方程的第二项为零：
在不考虑重力场的情况下，纳维尔-斯托克斯方程可以简写成：
跟之前稳恒层流的分析类似，这里流速只有z分量，所以压强梯度也只有z分量，即压强沿着径向与角向都不会变化，另外由于流速与z无关，根据上述方程可知压强梯度与z无关，结合压强沿着径向与角向都不变化的性质，容易推得压强梯度的z分量是关于全空间的一个常数-c(t),为了方便后续求解，这里要求该常数与时间t无关，于是压强梯度可写为：
由于流速沿z轴正方向，上式加了负号使得c>0，具体为：
那么恒定压强的纳维尔-斯托克斯方程的z分量为：
为了求解上述方程，张朝阳接下来分析含时流速分布在时间趋于无穷时的渐进行为。刚开始管内全空间的流速都为零，在恒定压强的驱动下开始加速流动；但随着流速的增加，阻碍流体运动的粘滞力也随之增加，直至与恒定压强梯度造成的驱动力相平衡。所以，随着时间的流逝，流速不会增大到无穷，而是趋于一个稳定值，即在时间趋于无穷时有：
于是，在时间趋于无穷时，上述关于流速分布的含时方程，变成稳恒流动的不含时方程，在推导泊肃叶定律时已经解过该方程并得到抛物线型的流速分布，设函数f(r)为该稳恒状态的抛物线型流速分布：
那么函数f(r)满足稳恒层流方程：
分析完流速分布的渐进行为后，可以将含时流速分解成如下形式：
其中函数g(r,t)具有渐进行为g(r,t=∞）=0 。
将该形式的速度分布代入含时速度分布方程，可以利用f(r)所满足的方程将含时方程进一步化简为：
为了后续书写的简洁，这里定义参数ν为：
那么函数g(r,t)所满足的方程可写成更加紧凑的形式：
（张朝阳分析流速的渐进行为以化简含时NS方程）
先前的直播课也遇到类似形式的方程，可以使用分离变量法来求解方程。具体是将函数g(r,t)的时间与空间分开：
并代入函数g(r,t)所满足的方程，两边再同时除以g(r,t)得到：
其中，第一个等号左边只含有变量t而右边只含有变量r，这表明等号左（右）边与变量t与r都无关，是一个常数，所以最后一个等号令该常数为参数α 。于是，可用参数α表示函数h(t)满足的方程以及方程的解：
其中因为函数g(r,t)具有渐进行为g(r,t=∞）=0 ，所以α小于零，即-α>0。
而用参数α表示函数K(r)满足的方程则为：
利用拉普拉斯算子在柱坐标系下的表达式，可将上述方程写成如下常微分方程：
整理其中关于r的导数，具体写成二阶线性齐次微分方程的形式：
为了将无关系数吸收掉，并由于-α>0，可定义参数x为：
那么方程可进一步改写为更加简洁的形式：
需要说明的是，其中K(x)关于x与K(r)关于r并不是同一个函数，严格来讲K(x)关于x的函数是K’(x)=K(r)=K(x√(-ν/α) ），只不过这里为了书写方便不用K’(x)而仍然用K(x)。
在数学物理方法中有非常著名并被研究透彻的n阶贝塞尔方程：
将K(x)所满足的方程与n阶贝塞尔方程做对比，可以发现K(x)所满足的方程正是0阶贝塞尔方程。
（张朝阳分离变量求解含时方程并得到贝塞尔方程）
利用递推公式求得贝塞尔函数 根据边界条件确定流速分布
为了最终得到含时的流速分布，张朝阳采用微分方程的幂级数解法，将函数K(x)展开为自变量x的幂级数：
将K(x)的幂级数形式代入上述0阶贝塞尔方程中，交换求导与求和顺序后得到：
进一步将关于x相同幂次前的系数合并得到：
由于x可以取任意值，这要求任何幂次前的系数都为零：
上式逗号左边的等式表明K(x)的展开系数的k+2项与k项有递推关系：
又因为a1=0，根据递推关系知a3正比于a1，即a3=0，又因为a5正比于a3，所以a5=0，同理可得展开系数a的所有奇数项都为零，只有偶数项可能不为零。若ak不为零，那么递推关系可写成：
于是任意偶数项与a0的关系为：
将上述求得的展开系数带回K(x)的级数展开表达式，可得0阶贝塞尔方程的解：
（张朝阳推导出贝塞尔方程级数解法的递推公式）
数学家已充分研究过任意阶数的贝塞尔方程，0阶贝塞尔函数的其中一个解，即第一类贝塞尔函数为：
注意到二阶线性齐次微分方程的解可以相差任意常数的倍数，若将K(x)的幂级数中的第零项的系数a0取为1，那么用幂级数展开与递推公式得到的解，正是第一类贝塞尔函数。即一般情况下有：
进一步结合x与α的关系式以及h(t)的表达式可得函数g(r,t)正比于如下形式：
注意到上式中参数α的取值具有任意性，对于不同的α，上式都是方程的解。而g(r,t)满足的微分方程是线性齐次微分方程，所以这些解的叠加仍然是方程的解。用下标i来标记不同值的参数α，那么更加一般的解可写为：
其中，Ai是与变量r和t都无关的常数。
结合函数f(r)与g(r,t)的表达式，流速分布具有如下形式：
为了进一步限定参数α的值，张朝阳考虑不滑动边界条件，即流速在圆管内壁r=R处恒为零：
在此边界条件的限制下，对于流速分布函数，其第一项f(r)自动满足f(r=R)=0；而第二项中，由于g(r,t)中对于不同的i有着不同的含时e指数函数，这就要求对每一个i，在r=R处都满足0阶贝塞尔函数取值为零
设λi是0阶第一类贝塞尔函数的第i个零点，即J₀(λi)=0，那么根据上式显然有：
注意到贝塞尔函数有无穷多个零点，于是可求得α的取值为：
有了参数α的具体取值，流速分布可用贝塞尔函数的零点λi写成更加具体的形式：
为了进一步将叠加参数求出来，张朝阳定义了如下新变量以方便后续计算与推导：
这样就可以将速度分布中无关紧要的系数cR^2/4μ提取出来，得到如下大括号中更加简洁的形式：
除了不滑动边界条件，这里还有另一个边界条件，是方程的初始条件，即t=0时刻流速处处为零：
将上述新变量表示的流速分布代入上述边界条件中得到：
上式表明，叠加系数ai是函数y^2-1用0阶贝塞尔函数展开后的各项系数，这种方式展开得到的级数称为傅里叶-贝塞尔级数。具体如何得到级数各项的展开系数，请见下回分解。
（张朝阳根据边界条件引出傅里叶-贝塞尔级数）
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