足球比赛中的香蕉球是怎么回事？它为什么能够拐弯？怎么严格证明阿基米德浮力定律与伯努利定理？12月4日12时，《张朝阳的物理课》第一百零七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，简要回顾了上一次直播课所介绍的流体力学知识，然后借助矢量分析以及微元分析法，证明了阿基米德浮力定律；紧接着推导了标量场的微分公式，并借助它成功证明了伯努利定理。
物体拆成柱状微元 压差求和得到浮力
课程一开始，张朝阳简要回顾了上一次直播课程介绍的知识，包括压强、稳恒流动等概念，还有帕斯卡原理、浮力定律等物理法则。张朝阳强调，之前所介绍的知识都是比较初步的，比如浮力定律，只是说明了它在柱形体等规则形状的情况下成立，而没有一般性地对任意形状给予证明。在这次直播课中，张朝阳对浮力定律、伯努利定理都做了严格证明。
根据上次直播课的结果，密度为ρ的不可压缩静止流体在重力场中的压强满足
其中的c表示与位置、时间无关的常数；z是直角坐标系的第三个坐标，坐标轴的正方向竖直向上。上式可以改写为p=-ρgz+c。
考察一个浸没在流体中的任意形状的物体（注：此处的推导经过适当修改也可用于不完全浸没的物体），示意图如下：
如图所示，取物体的一个柱形微元，其横截面大小为dS_{xy}；下底面面积为ds1，单位法向是n1；上底面面积为ds2，单位法向是n2。用i，j，k表示三个坐标轴的单位向量，那么这个柱形微元受到的流体压力的z分量为
式中n1与n2前的负号来自于压力方向与表面法向的方向相反。因为
将其代入前式可得
将所有柱形微元受到的压力求和，借助前面介绍的压强公式p=-ρgz+c，可得
可见Fz的方向是竖直向上的，大小等于这个物体排开的水的重力大小。但是，阿基米德定律还要求物体受到的浮力沿x与y方向的分量为零，因此还需要证明这个物体受到的流体压力在x、y方向为零。不失一般性，只需证明x方向的分量为零即可。与前面的推导类似，只不过这次需要取平行于x方向的柱形微元，最后得到
最后的等号是因为同一水平面的压强相等，即p1-p2 = 0。
至此，阿基米德浮力定律的证明就已经完整了。
（张朝阳证明阿基米德浮力定律)
分析压力体密度 推导标量场微分式
在上一次直播课程中，张朝阳借助特定指向的微元说明了压强的负梯度为压力的体密度，因此，压强代表着压力密度的势。在这一次直播课程中，对此论断给出了更详细的证明。
取一立方体微元，微元各边平行于各坐标轴。设微元沿x方向的横截面面积为ΔA，微元占据的x方向的坐标范围为[ x, x+Δx ]，那么微元受到的x方向的压力为
其中ΔV = ΔA·Δx是微元的体积。由此可知压力体密度在x方向的分量为
基于同样的分析，可以得到其它两个方向的压力体密度分别为
综合这些结果，即可得到压力体密度
可见，压强确实是压力体密度所对应的势。这个结果其实是阿基米德浮力定律的微分形式，这种联系；类似于电磁学中“电场的散度等于ρ/ε0”与高斯定理的联系。
分析完压力体密度，开始介绍起标量场在无穷小间隔上的差。由于压强是一种特殊的标量场，且与当前课程内容直接相关，因此张朝阳直接使用压强来进行分析。假设空间上两点的间隔为
那么
可见，标量场的微元可用它的梯度与空间间隔微元的点乘来表示。张朝阳介绍说，此结果将在接下来对伯努利定理的证明中用到。
分析能量沿路径的变化量 证明伯努利定理
在上一次直播课程中，根据压强是一种势，借助能量守恒定律写出了伯努利定理：
但是当时并没有对此结果进行严格的证明，而且其中的常数为什么仍依赖于空间坐标，这个问题也没有得到解答。为了彻底解决这些问题，张朝阳定义
为了突出问题的核心，在接下来的推导中忽略了其中的重力势能项ρgz，不过，加上这一项时，下面的推导过程仍然成立。
假设某处的流体微元速度为
那么矢量dr将是这个流体微元的前进方向。考虑在dr间隔下的ψ改变量，根据前面的分析，此改变量可以写成梯度与dr的点乘：
根据矢量微积分的公式
将其中的f与g都取为v，可以得到
将此结果代入dψ的式子中即有
另一方面，注意到速度v是一个矢量场，它是依赖于空间与时间的，因此微元的加速度为
因为
且流体稳恒流动，其速度分布不依赖于时间，有
所以，微元的加速度可以写为
因此，dψ的式子中右边大括号内的第一项可以借助上式来替换，于是得到
忽略重力作用，根据牛顿第二定律，微元加速度与密度的乘积必须等于微元受到的压力体密度，也就是压强的负梯度：
因此dψ可以简化为
张朝阳强调，虽然对于不可压缩流体，其速度的散度为零，但速度的旋度不一定为零，设
由于矢量dr平行于速度v，故dr垂直于v×α，从而dr与v×α的点乘等于零。由此可得，dψ=0。这说明，沿着速度场前进时，ψ的改变量等于零，换言之，ψ在流线上保持为同一个常数。
(张朝阳证明伯努利定理)
这里的推导只证明了ψ沿流线保持恒定，但是不同流线上的ψ可能是不一样的。不过对于一些特殊情况，ψ在整个空间上都等于同一个值。比如在水库上开一个小口，让水稳定地流动下来，在这种情况下，由于水库里的水是静止的，其上的ψ处处相等，又因为伯努利定理规定了流线上的ψ保持恒定，因此流下去的水的ψ也是处处相等的。再如另外一种情况，平流，也就是整个流体以固定的速度朝一个方向流动，它的ψ也是处处相等的。
证明了伯努利定理，张朝阳用它分析了足球比赛中香蕉球的成因。足球运动员斜着踢球，会给足球带来一定的角动量，使足球飞出去的同时还绕自身旋转。此时，足球除了因重力导致轨迹弯曲之外，还会因自转导致轨迹弯曲，这就是人们常说的”香蕉球”。
假如球是平飞出去的，且球的角速度垂直地面向上。忽略球的重力，取跟随球一起平动的参考系，那么空气在此参考系中会朝着相反方向不断流动过去，参见下面的示意图。
(张朝阳分析香蕉球的成因)
由于球在自转，它会带动周围的空气一起旋转。实际情况是很复杂的，在这里只做了简化分析。由于空气在远处是平流，因此它的ψ处处相等，于是在球的两边有
球的自转会导致球两边的空气流动速度不一致，球左边的空气会被球的自转带动使得速度更快，球右边的空气则由于球的自转导致速度变慢，因此借助上式可以得到
右边的压强高于左边的压强，因此球会受到一个从右向左的力，从而向左拐弯，这就是香蕉球的成因。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多
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