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地球自转越来越慢?《张朝阳的物理课》分析地球转速的改变以及地球的扁率

原标题:地球自转越来越慢?《张朝阳的物理课》分析地球转速的改变以及地球的扁率

地球的自转正变得越来越慢?为什么地球的赤道半径比地球的极半径要长大约21公里?11月25日12时,《张朝阳的物理课》第一百零四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了月球退行的成因,然后借助上一次直播课推导出来的力矩公式分析了地球自转为什么减慢,并定量地计算出减慢的具体数值。通过分析椭球形变的地球引力势以及地球自转导致的惯性势,最后计算出了地球赤道半径比极半径要长二十多公里。

力矩反作用于地球 拖慢地球转速

在上一次直播课中,张朝阳通过分析地球的固体潮形变导致的引力势修正,从而得知地球对月球的引力作用存在一个切向分量,这个分量会提供给月球一个力矩,使得月球的轨道角动量被不断加大。这个力矩的大小为

其中 m2 是月球质量,R是地球平均半径,a是地月距离,μ约等于3.35,相当于是一个表征地球内部固体在月球潮汐力作用下与流体差异有多大的一个量,δ是固体潮方向与地月连线的夹角,约等于3度,在代入上式计算时需要换算成弧度。

这个力矩会增大月球的轨道角动量,那么根据角动量守恒定律,地球自转的角动量必然会减小。地球的自转可以近似为定轴转动,设地球自转角速度为Ω,转动惯量为Ie,那么地球自转角动量为Le=Ω*Ie。根据转动惯量的定义,有

其中的ri与rz表示对应点到转轴的距离。假设地球是一个密度为ρ的均匀球体,那么有

其中m1是地球质量。

地球的自转角动量不断地减少,通过角动量定理来表述就是

于是

所以

上式表示的是在时间ΔT内角速度的改变量,但是更直观的量应该是地球一天的时长,也就是地球自转一圈的时长。地球自转一圈所用时间为t=2π/Ω,所以

代入角动量改变量的公式以及力矩公式,可得

设地月总质量为M,月球公转角速度为ω,根据地月系统的结果,有

借助此结果可将Δt化为

其中已经代入了地月系统的相关数值。当ΔT等于一年时,Δt约等于2.4×10^{-5}秒,也就是说每过一百年,地球的一天就会变长2.4毫秒。张朝阳强调,这是一个理论计算值,实际测量值约为每百年2毫秒。

(张朝阳推导地球自转变慢的程度)

需要多长时间地球一天的时长才会变成现在的两倍呢?对此进行了计算:

可见,要经过大约36亿年,地球一天的时长才会变成现在的两倍。

自转向外甩 地球变矮胖

分析完地球自转的变慢程度之后,继续分析地球为什么是一个扁球体。根据实验测量数据,地球赤道半径比极半径长了大约21公里。张朝阳解释说,这是因为地球自转带来了一个离心力场,导致物质有往外甩的倾向。地球自转导致的惯性力比潮汐力大很多,此时可以将地球当作一个流体来分析,地球表面是引力势与离心势之和的等势面。

先假设地球自转导致的形变是椭球形的形变,以地球自转轴为极轴建立球坐标,地球赤道半径记为Re,地球极半径记为Rp,地球平均半径依然记为R,那么地球的偏心率为

在偏心率的一阶近似下,地球表面可以表示为

其中P2是第二阶勒让德多项式,其显式表示为

假设地球密度均匀,那么考虑了地球形变之后的地球外部引力势为

这些是之前直播课介绍过的内容,张朝阳在这次直播课中进行了一次复习。

回到地球的引力势上面,在地球表面,引力势为

张朝阳强调,引力势的修正部分正比于P2是一个关键的性质,如果自转导致的惯性势中依赖于角度θ的项也正比于P2,那么在椭球形变的假设下就能得到自洽的结果,从而证明椭球形变的假设是正确的。

随后开始推导自转导致的惯性势。设地球表面某点距离地球自转轴为Rz,自转速度为v,那么这一点上的加速度为

于是,自转导致的惯性势为

因为

所以

可见自转惯性势中依赖于角度θ的项确实正比于P2(cosθ),这说明前面假设地球形变是椭球形变是正确的。

由于此时地球表面是一个等势面,而总的势中与角度无关的项不会影响到等势面的修正,剩余的项必须满足

由此立即得到

其中g是地球表面的重力加速度。根据偏心率的结果可得地球赤道半径比极半径要长:

实际的测量数据是赤道半径比极半径长大约21公里,可见上述结果的误差还是很大的。误差的主要来源是什么呢?张朝阳解释说,因为前面计算的时候假设了地球密度均匀。实际上地球的密度分布不是均匀的,地球内部物质的密度大于地球表面物质的密度。如果让更多的地球物质往地球中心集中,那么地球外部引力势的修正项中的m1将不再等于地球质量,而是等于αm1,这个α是一个小于1的常数:

这样的话,地球表面的引力势将会等于

加上自转惯性势,借助等势面要求,就可以得到偏心率满足的关系:

由于α小于1,上式最左边括号内的值将大于4/15,从而导致偏心率比均匀密度的情况要小,这就是为什么实际的赤道半径与极半径之差要小于27公里的原因。

(张朝阳计算地球赤道半径与极半径之差)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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