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月球为什么正在远离地球?《张朝阳的物理课》分析地球潮汐形变对月球的影响

原标题:月球为什么正在远离地球?《张朝阳的物理课》分析地球潮汐形变对月球的影响

为什么月球正在远离地球?月球的退行速率应该怎么计算?11月20日12时,《张朝阳的物理课》第一百零三期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先带着网友们复习了月球潮汐力引起的地球形变,然后结合地球自转说明了地球潮汐形变最大的方向比地月连线方向超前一个小角度,从而导致地球对月球的引力作用存在一个切向分量,张朝阳计算了这个切向力矩,继而推导得到月球的退行速度。

复习地球在形变后的引力势 分析地球对月球的引力分量

在上一次的直播课程中,张朝阳介绍了月球对地球的潮汐作用导致的地球形变,地球形变后的形状近似为椭球形,其表面方程可以近似写为:

其中R是地球平均半径,ε是地球偏心率,具体定义可参见于上一期直播课,P2是第二阶勒让德多项式:

地球形变之后,它的引力势也不再等于均匀球体的引力势,考虑到ε的最低阶修正之后可得它的引力势为:

其中G是万有引力常数,m1是地球质量,(r,θ)是球坐标中的坐标分量,这个球坐标的原点处于地球中心,极轴指向地球潮汐形变最大的位置,并处于月球方向附近。

上式中的修正项的量级与月球潮汐势的量级是一样,因此在计算地球固体潮差时必须考虑上。在上一次直播课程中,张朝阳对此进行了详细计算。设月球质量为m2,地月距离为a,如果把地球固体当作流体来看,就会得到:

事实上,由于固体与流体存在差异,上式需要进行一定的修正,最终结果为:

其中μ约等于3.35。

(张朝阳给网友们复习潮汐导致的地球偏心率)

将ε的这个结果代入地球的势可得:

如果不考虑地球自转,地球形变后的最高位置必定指向月球。但是,地球是存在自转的,自转速度大约一天一圈。虽然月球也环绕地球公转,但是公转速度约为一个月一圈,可见地球自转角速度远大于月球公转角速度。正因为这个转速差异,导致原本应该指向月球的地球形变被地球自转“拖拽”走了,而月球对地球的潮汐力又会将地球形变往地月连线上“拖拽”,最终使得地球形变的指向与地月连线相差一个夹角δ,大约等于3度。

前文说到,极坐标的极轴指向地球潮汐形变的最高处,并处于月球方向附近,于是月球在此球坐标系中的θ角等于δ。为了说明地球形变对地月引力的影响,张朝阳画了如下示意图:

张朝阳解释说,地球对月球的引力不再严格指向地球中心,而是有一定的偏离,其中的偏离就体现在切向力的出现上,这个切向力会影响月球的运动,使得月球不断地远离地球。

为了定量计算出月球的退行速度,张朝阳开始分析起月球所受的力矩:

其中矢量a是从地球到月球的位置矢量,F是地球对月球的引力,Fr与Fθ分别是F在球坐标基下的投影矢量,f_θ是力Fθ的大小。定义τ=af_θ。因为:

借助球坐标下的梯度公式,有:

根据τ的定义以及地球引力势的公式,可得:

由于月球位置上θ=δ,以及δ很小,满足:

所以:

代入力矩公式中可得:

从极坐标基矢关系可以知道,-er×eθ垂直于地月轨道平面,并且与月球公转方向满足右手螺旋关系,因此力矩τ是倾向于增大月球轨道角动量的。

近似圆周运动 计算退行速度

前面推导了地球对月球的力矩,并确定了此力矩是增大而非减小月球轨道角动量,因此接下来可以忽略涉及到变化量的符号而使用绝对量。力矩大小为:

其中的δ需要使用弧度制:

将月球轨道近似为圆轨道,设月球公转速度为v,那么它的角动量为:

根据地月系统的公转角速度公式,有:

其中M=m1+m2是地月总质量。根据此结果作微分可知轨道角动量改变量与月球轨道半径改变量的关系为:

移项得到:

(张朝阳推导月球所受力矩及月球在特定时间内的退行距离)

根据角动量定理,在时间ΔT内,轨道角动量的变化量为ΔL=|τ|×ΔT,代入上式可得:

代入数值可以得到月球每年大约远离0.05米,实际观测表明月球每年远离大约0.038米,也就是3.8厘米,与这里的计算结果是接近的。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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