如何用平动参考系计算潮汐高度？引力势与勒让德多项式有何关系？11月11日、11月13日12时，《张朝阳的物理课》第一百期、一百零一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先复习二体运动化为单体运动的过程，得到相对运动方程并求出地月公转角速度，随后选取与地球中心共动的平动参考系，并指出平动参考系中的惯性力场是匀强力场后求得惯性势。此外，他还将月球引力势用勒让德多项式展开，并保留到二次项。进一步考虑地球的引力势，根据海水表面是所有势场的等势面这一性质，求出潮汐高度。
将二体运动化为单体运动
潮汐力主要是由天体之间的万有引力引起的，先来研究地球和月球的运动。设地球质量为m1，位置矢量为r1，而月球质量为m2，位置矢量为r2。那么由牛顿第二定律以及万有引力公式可以得到地球的运动方程：
其中e_r则是由月球中心指向地球中心的单位矢量，r是地球与月球的相对距离。
同理月球的运动方程为：
将地球运动方程与月球运动方程相加得到：
而地月系统的质心位置r_cm为：
根据前面地月运动方程相加的结果可得系统质心运动方程：
这说明地月系统的质心静止不动或做匀速直线运动。（实际上，考虑到太阳的引力，地月系统质心其实在做加速运动，但之前课程已经通过计算证明过，在求地月绕转角速度时，太阳的引力效应可忽略不计。）
质心只能描述整个系统的位置，却不能描述系统内部的相对位置。而地球相对于系统质心的位置是：
其中矢量r=r1-r2是地球相对于月球的位置，它的方向与单位矢量e_r的方向一致，它的大小为地球与月球的相对距离r。
将上式两边同乘以m1后，对时间求二阶导数，并结合地球的运动方程以及质心的运动方程可得：
若进一步定义约化质量为：
那么上述关于地月相对位置r的方程可以化简为：
其中M=m1+m2是地月系统的总质量。
这个方程就是标准的两质点受万有引力的运动方程，其中质量为μ的质点受到质量为M且位置固定的质点的引力而运动。
求解上述方程，得到矢量r的集合，即为运动轨迹。之前已经研究过此方程，并且得到了方程的多种解，鉴于地球与月球的运动近似为圆周运动，这里只取圆周运动这一特殊情况，设圆周运动的半径为r=a，相应的角速度为ω，那么质量为μ的等效质点的加速度大小为d^2r/dt^2=ω^2a，加速度方向指向圆心，即-e_r方向，那么由上述相对运动方程可得角速度ω^2满足的关系式：
解得了地球相对于月球的运动之后，过头来看地球的位置矢量r1。为了方便讨论，先选取系统质心为参考系的原点，即r_cm=0，那么根据质心的定义及矢量r的定义有：
地球的运动矢量r1与相对运动矢量r只相差一个比例系数。由于已知矢量r做的是半径为a角速度为ω的圆周运动，故地球的运动也是角速度为ω的圆周运动，但相应的地球的运动半径为r1=[m2/(m1+m2)]a=(m2/M)a，所以地球中心的加速度为ω^2r1，且加速度的方向指向月球中心。
用勒让德多项式表示引力势 选取平动参考系求惯性势
为了更加简洁明了地计算潮汐效应，选取一特殊平动参考系，使得地球中心点（即地球质心位置）在该参考系下保持静止。 由于地球与月球相对于质心系做角速度为ω的圆周运动，所以这个平动参考系相对于惯性系（地月系统质心）具有ω^2r1的加速度，方向从地球中心指向月球，这是一个非惯性系，参考系里的点会受到惯性力。
在讨论惯性力场对应的惯性势之前，先分析在此参考系中月球引力场对应的势场Φm。
建立如上图所示的坐标系，将地球中心选为原点，取经过地球与月亮中心的轴为z轴，从地球中心指向月球中心的方向为z轴正方向，位矢r的大小为r，位矢与z轴的夹角为θ，后面考虑的所有势场都关于z轴旋转对称，所以这里的球坐标只需要位矢大小r与夹角θ。根据力场F与势场Φ的关系F=-▽Φ以及万有引力公式，可知月球势场Φm为：
其中l为场点与月球的距离。设月球相对于地球的位置矢量为矢量a，地月之间的距离为a，那么根据矢量的运算法则可得l与位矢r的关系为：
由于势场Φm与l成反比，所以需要考察的是1/l的性质：
因为之后只考虑地球表面上的势能，所以r约等于地球半径，远远小于地月距离a，那么上式可以按照r/a近似展开。这时需要利用到如下函数f(x)的泰勒展开公式：
令函数f(x)中的参数x=r/a，b=-2cosθ后可得到1/l按照r/a的泰勒展开，并且只要求展开保留到r/a的二次项：
注意到前三阶勒让德多项式为：
即在保留到r/a的二次项时的1/l还可以写成：
从这个表达式已经能明显发现用勒让德多项式表达1/l时所现出的规律，事实上可以严格证明，若不只保留到r/a的二次项，而是按照r/a展开到无穷阶后1/l可写成：
从另一个角度来看，也可理解为1/l按照勒让德多项式展开，类似氢原子波函数可按照能量本征态展开那样，在这里(1/a)(r/a)^n则是作为按照勒让德多项式展开的系数。前面也说过了，由于r/a很小，在接下来的计算中，只保留展开中的常数项、线性项以及二次项就足够了。
（张朝阳分析月球引力势与勒让德多项式的关系）
分析完月球的引力势后，接下来研究惯性力场对应的势场。前面也说过了，平动参考系具有沿着z方向（地心指向月心）大小为ω^2r1的加速度，那么参考系中惯性力方向沿着z的反方向，惯性力对物体产生的加速度为ω^2r1，即惯性力场大小为ω^2r1 。注意这里选取的是平动参考系，所以在质心系下看，该平动参考系中每个点运动的加速度、速度都相同，所以平动参考系中每点的惯性力场方向与大小都相同，所以惯性力场Fc是匀强力场：
其中e_z为沿着z轴正方向的单位矢量。
根据力场与势之间的关系F=-▽Φ可知，该匀强惯性力场Fc对应的惯性势为：
除了直接从直角坐标或柱坐标系中直接看出惯性势的表达式之外，还可以在上面建立好的球坐标系下验证：
可以看出惯性势Φc确实可以给出沿着z轴反方向的匀强惯性力场。
根据上一小节求出的角速度ω满足的关系ω^2=GM/a^3，以及r1与r的关系r1=(m2/M)a可将惯性势Φc进一步写为：
其中最后一个等号用到了坐标之间的转换关系z=rcosθ 。
这个惯性势与张朝阳第一次研究潮汐所用的离心势有所不同，当时使用的参考系是发生潮汐锁定时的地球所在的转动参考系，之后的计算会发现，这里使用的平动参考系更能直接体现出潮汐效应，不会像之前转动参考系那样诱导出一个与潮汐无关的自转效应。
（张朝阳讨论平动参考系与转动参考系的区别）
将两种势能的计算结果汇总，在随着地球中心平动的参考系种，地球附近的月球引力势与惯性势之和为：
注意到在最后一个等号的计算过程中，月球引力势的线性项与惯性势相抵消了，这是因为，为了让地球质心在非惯性系中保持静止，结合球体引力可以等效作用于球心这一特点，这就要求惯性力场与地球中心（即地球质心）所受的引力场相抵消，而月球引力势的线性项对应的力场正是地球中心所受的月球引力场。
高次项表示的是，由于偏离地球中心而导致的月球引力的改变，这正是潮汐力的来源。 因为力场是通过对势场求梯度得到的，所以势场的常数值在求梯度后将对力场无贡献，势场的零点选取具有任意性，相差一个常数的势场可以得到相同的力场，所以这里可以忽略上式中的常数项-Gm2/a而得到更加紧凑的表达式：
（张朝阳解释引力势线性项与惯性势相消的原理）
考虑地球引力势计算潮汐高度
对于像水这样的流体，如果其表面的力有平行于其表面的分量，那么水就会流动，不能保持静止恒定。所以，在一个势场中的水，如果达到静止，它的表面受到的力是垂直于其表面的，由于力是负的势能梯度，这说明水的表面就是势场的等势面。
地球上的海水感受到的势场不仅仅是之前计算过的惯性势和月球引力势，还包含了地球本身的引力势。假设地球的固态部分是完美的球体，并忽略表面海水自身的引力效应（地球平均密度是水密度的5.5倍），那么在上述球坐标系中地球的引力势可表示为：
由于海水表面为总势场Φt的等势面，总势场Φt在海水表面上为一个常数：
即沿着海水表面，地球引力势的变化与其它势的变化满足关系式：
为了公式的简洁，选取某个角度θ_0满足：
那么月球引力势与惯性势之和在角度θ_0时为零：
那么沿着海水表面，地球引力势相对于角度θ_0处的变化为：
设在在角度θ_0处的海水表面到地心距离为R，而任意θ处的到地心距离为R+h，即h为两处的海面高度差，由于地球固态部分是完美球体，所以h也是海水深度之差。计算对应的地球引力势的变化，并只保留h的最低阶项为：
其中g=Gm1/R^2是地球表面的重力加速度，另外，由于h远远小于R，第二个等号按照h/R展开到了一阶。之后会考虑用更精确的方法求高度差。
综合各势场的表达式后，可得海水高度差h近似满足的公式为：
由于r=R+h中R远远大于h，所以可以令上式r=R，这等价于按照h/R展开并保留到最低阶项，最后将g=Gm1/R^2代入上式，并进行整理得到海水高度差h与坐标θ的关系：
这与之前用地球锁定转动参考系计算出的结果一致。从h的表达式可以看出，当θ=0和θ=π时，h取得最大值，这说明在z轴上的海水高度最高，而当θ=π/2时候，此时海水高度最小。地球若沿着垂直于月球公转平面的轴自转起来，赤道的人会先后经过海水高度最大值点θ=0，π和最小值点θ=π/2，他会发现海水高度在h的最大值与h的最小值之间变化，这就是潮汐现象。
为了计算潮汐高度，将具体参数值代入h的表达式中，可以求得h的最大值为0.36 m，而h的最小值为-0.18 m，潮汐高度就是最高值减去最小值为0.54m，这就是在赤道上随地球自转的观察者所观察到的海水高度的最大变化值。
值得一提的是，在本节直播课的潮汐计算中，假设了地球固态部分是完美的球形，所以潮汐高度就是海水外表面的高度差，并且此时地球引力势是简单的随r成反比的势场。但实际上即使是地球的固态部分也会因为潮汐力而发生形变，这样还需要将海水外表面的高度差减去固态部分的高度差，才能得到潮汐的高度。另外，计算海水外表面的高度差所用的地球引力势也不再是简单地随r成反比的势，详情请见下回分解。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多
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