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相对论的四维语言是怎样的?《张朝阳的物理课》介绍电动力学与相对论的关系

原标题:相对论的四维语言是怎样的?《张朝阳的物理课》介绍电动力学与相对论的关系

狭义相对论的四维语言是怎样的?电动力学与狭义相对论具有怎样的关系?夏天的时候白车比黑车更节能?9月25日12时,《张朝阳的物理课》线下第九课开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳介绍了为什么麦克斯韦的电磁理论与牛顿时空观矛盾,从而介绍起狭义相对论的四维形式,并推导了电磁势所满足的方程以及得到了推迟势解。期间,张朝阳还介绍了在夏天的时候,白车比黑车更节能的物理原理。

麦克斯韦理论隐含光速不变 时空转动导致洛伦兹变换

课程开始,张朝阳直接从麦克斯韦方程组入手:

考虑真空的情况,也就是没有电流与电荷的情况,对第二式求旋度:

上式最左边可以写为:

借助磁感应强度的散度,上面倒数第二式的最右边可以写为:

于是得到:

这就是电磁波电场部分的波动方程。可见,如果麦克斯韦电磁理论在所有惯性系都成立的话,那么每个惯性系上的光速都是c,这是违背伽利略时空观的。

事实上,假如伽利略时空观是正确的话,那么时间与空间独立,如果假设与速度垂直的方向的度量不受速度变换影响,那么根据勾股定理,可以从一个速度v得到一个更大的速度u,而且u甚至可以是v的常数倍。也就是说,在伽利略时空观下不存在速度上限。

现代物理已经证明,速度上限是存在的,这个上限就是真空光速c。真空光速在任何惯性系下都具有相等的值。这就是狭义相对论中的光速不变假设。

伽利略时空观不是正确的,这就导致相应的伽利略变换是不对的,那么正确的惯性系变换是怎样的呢?

张朝阳先考虑了空间中的定轴转动,可知,如下的量不随转动而改变:

这个量就是转动的不变量。

假设在转动前,(x,y)写成极坐标形式为:

那么在位置矢量绕z轴转动角度Ф(相当于坐标架反方向转动相同角度)后到达的位置为:

这个结果可以表示成矩阵形式:

在惯性系的变换下,有没有类似的不变量呢?是有的。假设在t=0时刻S’系与S系的坐标轴原点重合,S’系的y’轴、z’轴分别与S系的y轴、z轴重合,S’系相对于S系以速度v匀速向x正方向运动,张朝阳通过光速不变证明了-(ct)^2+x^2在参考系变换下不变。为了将它表示成与三维空间中的R^2类似的形式,张朝阳引入了虚数i:

这个量在S’系与S系之间的变换是不变的,因此,这个变换很必然是“虚时空”中的旋转变换。类比前面的空间极坐标可以得到:

假设从S系到S’系,“虚时空”经过了角度Ф’的旋转, 张朝阳介绍说,角度θ’与Ф’是个虚数,和实角度的关系为θ’=iθ,Ф’=iФ。将其代入,借助三角函数与双曲函数的关系,类似前面的推导过程,可以得到:

这就是S系到S’系的变换公式,不过,角度Ф还需要和速度v联系起来才行。为此,考虑S’系的坐标原点,有:

所以:

在这些量代入变换式,得到:

这正是大名鼎鼎的洛伦兹变换。

引入电磁势 求解达朗贝尔方程

介绍完洛伦兹变换,张朝阳开始讲解怎么求解麦克斯韦方程组。首先,因为磁感应强度的散度等于0,根据亥姆霍兹定理可以知道B一定等于某个矢量场A的旋度。将这个关系代入电场的旋度公式中消掉B可得:

可见,存在一个标量场Ф,它的梯度的负一倍等于上式括号中的量,写成公式就是:

这里的A与Ф就被称为电磁势。

由于从电磁势到电场、磁场需要经过求导,因此电磁势不是唯一确定的。事实上,如果电磁势作如下的变换:

那么电场、磁场并不会改变。上式的变换被称为规范变换。

虽然电磁势存在规范自由度,但是可以通过引入一些约束条件使得电磁势能够最大程度地被确定下来。比如,常有的约束条件有洛伦兹规范条件:

张朝阳简单证明了洛伦兹规范总是可以被满足的。

在洛伦兹规范下,电磁势的方程可以写成非常对称的形式。为了得到电磁势的方程,张朝阳将E用电磁势表示,然后代入电场的散度公式中得到:

上式的推导过程中使用了洛伦兹规范条件。移项可以得到:

同样可以得到矢量势满足的方程为:

上述关于电磁势满足的方程称为达朗贝尔方程。

可见,标量势与矢量势满足的方程是类似的,只要求得标量势的解,相应也能得到矢量势的解。而且,这两个方程都是线性方程,因此可以先对某个点电荷求出它的标量势,然后借助叠加原理就可以得到总的标量势解。为此,张朝阳考虑了如下方程:

这个方程是球对称的,因此可以认为Ф只与r和t有关。除了原点之外,这个方程等式右边都等于零,借助球坐标,可以写为:

通过一些推导,上式可以改写为:

可见,rФ满足二维波动方程。如果忽略从外向里传播的波,那么这个方程的通解为:

到目前为止,张朝阳只考虑了除原点之外的情况。在原点处,电荷无穷大,该怎么处理那个方程呢?他使用了积分的方法。在原来的方程两边对以原点为球心、半径为R的球B(R)求体积分可得:

这时候让R去向于0,可得:

因为:

所以:

这样立即得到:

所以:

在此结果上,利用叠加原理立即得到:

同理,可以求出矢量势的解为:

热机逆向运行得到空调 白车反射阳光降低空调功耗

张朝阳还结合了热力学知识讲解了为什么在夏天的户外,白车会比黑车节能。

在之前的直播课中讲过,太阳辐射常数大约是1400W/m^2,不过这是大气层边界的太阳光辐射功率,太阳光经过大气层会被散射、反射掉一部分。根据现有数据,海平面在晴天正午的时候太阳光功率最高可以达到1000W/m^2,考虑到云层遮挡等影响,这里取太阳辐射常数的一半来计算,也就是700W/m^2。

根据一般的家庭轿车尺寸,张朝阳假设车身长4米,宽1.7米。如果这辆车是黑色的,假设它会把太阳光全部吸收掉;如果这辆车的车身是白色,假设它会把太阳光完全反射掉。在太阳直射的时候,黑色车吸收太阳光的面积为4×1.7=6.8平方米,吸热功率为:

黑色车每秒钟比白色车多吸收大约4800焦耳的热量。

接着他开始计算空调需要增加多少功率才能将这些热量排出车外。张朝阳介绍说,空调是一种热泵,它的过程与热机刚好相反,就是输入能量,然后从低温热源吸热释放给高温热源。一个热机,反向运行就会成为热泵。热泵示意图如下:

其中T2<T1。ε=Q2/W被称为制冷系数,用于衡量热泵的吸热效果。对于可逆热泵,根据卡诺定理,有:

所以有:

假设车外温度为35摄氏度,也就是308.15开尔文;车内温度为18摄氏度,也就是291.15开尔文,此时:

因为ε=Q2/W,所以W=Q2/ε。如果使用可逆热泵来给车内降温,为了把太阳热量排出车外,那么空调需要增加的功率为:

可见车内空调需要增加大约300瓦的功率。

张朝阳强调,上述分析是在理想热泵的情况下得到的,实际上目前市面上的空调(包括车载空调),其制冷系数大约在2.5至5之间,取最大值5,为了把太阳辐射热量排到车外,空调需要增加的功率为:

也就是说,在夏天的中午,车内开空调的话,白色车每小时能比黑色车节省大约一度电。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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