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洛伦兹力来自电场力的洛伦兹变换?《张朝阳的物理课》探讨洛伦兹力的本质

原标题:洛伦兹力来自电场力的洛伦兹变换?《张朝阳的物理课》探讨洛伦兹力的本质

在参考系的变换下,电磁场与力是怎么改变的?洛伦兹力本质上只是另一个参考系的电场力?9月18日12时,《张朝阳的物理课》第八十五期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,探讨洛伦兹力的本质。

张朝阳先介绍了匀速运动电子的电磁场怎么求,以及一般性的电磁场在参考系变换下怎么改变,然后通过单个匀速运动电子的电磁场结果分别求出了无穷长带电导线、无穷长直线电流的电场与磁场,最后利用这些结果以及四维力的形式,成功说明了洛伦兹力只不过是另一个参考系上的电场力。

从电磁势到电磁场 电磁场的洛伦兹变换

在第八十四期的直播课程中,张朝阳通过推迟势解的积分成功求出了匀速运动电子的电磁势。假如电荷量为q的带电粒子沿着x轴正方向运动,速度为v,t=0的时候带电粒子处于坐标原点。如果只考虑x-y平面上的电磁势的话,有

其中

这是很奇怪的一个量,和空间距离的公式很像,但是又不完全一样。为了看出它的内涵,在上式两边同时乘上γ,得到

其中带撇号的量表示与带电粒子保持相对静止的参考系S’上的量,后文将沿用此约定。由此可见,γL是S’上对应位置到坐标原点的距离。

在上一次直播课中,求出了x方向的电场,并证明了它满足如下关系

在这一次直播课中,张朝阳计算了更多的电场、磁场分量,比如y方向的电场分量:

以及磁场:

容易知道,在x-y平面上,磁场是沿着z方向的,因此只需要求出它的z分量即可,这很容易得到:

磁场的其他分量都为零。将这个结果写成矢量形式可以得到

其中的垂直符号⊥表示对应矢量在垂直速度方向的那部分投影。矢量形式不局限于x-y平面,它在整个空间上是处处成立的。

实际上,匀速运动电子的电磁场可以通过洛伦兹变换求得。电场与磁场不单独构成四维矢量,而是能够组合成为一个二阶张量,它的变换规则比一般的四维矢量变换规则要复杂一些。它们的坐标变换为

其中平行符号表示对应矢量在平行速度方向的那部分投影。这个变换公式是普遍成立的,不局限于匀速运动电子的模型。如果从S’系变换回S系,相应的电磁场变换就相当于把上式中带撇的量与不带撇的量互换,并将式子中的速度v变成-v,这是因为S系相对于S’系以速度v沿着x’轴负方向运动。

(张朝阳介绍一般情况下的电磁场满足的洛伦兹变换)

回到匀速运动带电粒子的模型上,在S’系中,只存在点电荷的电场,不存在磁场,应用相应的电磁场变换关系,立即得到S系上的电磁场为

这些结果与前面直接通过电磁势来求得到的结果一致。

电流来自带电粒子的运动 积分得到电流电磁场

介绍完电磁场的洛伦兹变换之后,开始借助匀速运动带电粒子的电磁场公式来求出无穷长带电直线的电场以及无穷长电流的磁场。

张朝阳使用的模型是,无穷长带电直线与x轴重合,并且沿着x轴正方向以速度v前进,在这个参考系里边它的线电荷密度为λ,设x2=x-vt,那么有

电荷微元满足dq=λd(x2)。

在这个模型中,电荷微元dq沿着x轴正方向以速度v匀速前进。根据对称性容易知道,在x-y平面某一点处,电场的x分量由于无穷长带电直导线上各个电荷微元的电场叠加而等于0,只剩下电场的y分量不等于0。根据前面的结果,电荷微元dq在位置(0,y)产生的电场的y分量为

于是

这个结果也可以用高斯定理得到。比如,取一个中轴线与带电直线重合的半径为y、长度为a的圆柱形闭合曲面,根据高斯定理容易得到

此结果与上一个结果一模一样。

(张朝阳通过积分求出无穷长带电直线的电场)

求完电场之后,开始求这个模型下的磁场。根据匀速运动带电粒子的结果可以知道

其中下标Ф表示环绕带电直线的方向。于是

其中已经利用了电流等于λv这个关系。张朝阳强调说,这个结果可以通过安培环路定理得到。

介绍力的洛伦兹变换 洛伦兹力是电场力的另一面

在之前课程就已经讲过,电荷量为q的带电粒子在电磁场中受到的力为

其中,v是粒子的运动速度。式中与磁场有关的那一项就是洛伦兹力,它表示的是带电粒子在磁场中受到的力。

张朝阳介绍说,洛伦兹力其实是另一个参考系下的电场力。假设电磁场以及力所满足的洛伦兹变换之后,洛伦兹力可以由另一个参考系中的电场力导出。

为了更清楚的说明这一点,张朝阳取了一个无穷长直线电流的模型:设电中性的无穷长直导线中带负电的粒子固定不动,带正电的粒子以速度v沿着x轴正方向运动。张朝阳强调,现实生活中大部分的电流都是带负电的电子作漂移运动导致的,这里假设的运动的正电粒子虽然不太符合现实情况,不过这不影响对模型的讨论。

由于导线是电中性的,正电荷与负电荷的线密度必然满足

这时候整个空间只存在磁场,不存在电场。

假设一个电荷量为q的粒子在x-y平面上,到x轴的距离为y,它朝着平行于x轴的正方向运动,速度同样为v。设与带电粒子保持静止的参考系为S’系,先分析了带电粒子在S’系上的受力情况。

由于洛伦兹收缩,以速度v运动的带电线元的电荷密度是静止带电线元的电荷密度的γ倍。在S’系上,正电荷都是静止的,于是

负电荷在S系是静止的,在S’系上是朝着x’轴负方向以速度v运动的,因此

于是,在S’系上观察到的导线总电荷线密度为

可见,导线在S’系上不是电中性的。张朝阳强调,这是一个相对论效应,来源于洛伦兹收缩。

在S’系上除了能观测到导线上存在电荷,还可以观测到导线上存在电流,这是因为负电荷沿着x’轴负方向运动。因此,在S’系上既能观测到电场,也能观测到磁场。在S’系上,带电粒子是静止的。张朝阳在此作了一个合理的假设:假设静止带电粒子不受磁场的作用。于是,带电粒子只受到电场力的作用。根据前面求出的无穷长带电直线的电场公式,可知带电粒子受到的电场力只沿y方向,满足

其中电场为

现在已经知道S’系上带电粒子受到的力了,为了求出S系上带电粒子受到的力,先介绍起四维力。假设粒子以速度u运动,粒子受到的三维力为F,那么这个力对应的四维力为

其中γ_u表示速度u对应的γ:

四维力是一个四维矢量,满足四维矢量的洛伦兹变换。

在S’系上,带电粒子静止,因此u=0,此时γ_u=1。根据前面得到的粒子在S’系的受力结果,相应的四维力除以电荷q可以写为

另一方面,在S系上,带电粒子的速度为v,所以γ_u=γ,设它受到的力为F,那么相应的四维力除以电荷q为

可见力F只在y方向存在不为零的分量,并且

其中已经将无穷长直线电流的结果代入。

分析磁场的方向与带电粒子的运动方向容易得到

并且v与B的叉乘只在y方向存在不为零的分量,于是立即得到

这正是带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力公式。从这个结果可以知道,洛伦兹力只是另一个参考系中的电场力。

(张朝阳通过四维力的变换证明洛伦兹力本质上是电场力)

张朝阳解释说,只要假定了静止电荷在电磁场中只受到形如qE的电场力,那么在一般情况下,电磁场对带电粒子的作用力也能得到了。从这个意义来说,只需要电场力公式,加上麦克斯韦方程组,整个电动力学就完备了。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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