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匀速运动电子的电磁势是怎样的?《张朝阳的物理课》介绍推迟势的积分

原标题:匀速运动电子的电磁势是怎样的?《张朝阳的物理课》介绍推迟势的积分

匀速运动电子的电磁势应该怎么求?怎么把点电荷密度的狄拉克函数积掉?怎么借助这个例子的电磁势验证电磁势构成四维矢量?9月16日12时,《张朝阳的物理课》第八十四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了麦克斯韦电磁理论与狭义相对论的联系,然后通过直接积分求出匀速运动电子的电磁势,并利用电磁势验证了它作为四维矢量的洛伦兹变换关系。

时间与空间独立会导致无限速度 推迟势解预示超距作用不存在

课程一开始,张朝阳就给网友们复习了牛顿的绝对时空观。在以前的直播课程中,张朝阳讲解过,如果时间是独立于空间而存在的,并且相对运动不会改变垂直方向的尺度的话,那么速度不会存在上限,也就是说速度能够趋向于无穷大。牛顿的万有引力定律以及后来的库仑定律都假设了相互作用的传递是不需要时间的,也就是说相互作用的传递速度是无穷大。然而,19世纪末至20世纪初的物理研究表明牛顿的绝对时空观是不对的,物体的速度不可能无穷大,光速是一切物质与能量的传递速度上限。

在之前课程中,张朝阳介绍了麦克斯韦方程组,并引入了标量势和矢量势。对于它们之间的关系,张朝阳作了形象的比喻。标量势、矢量势是处在一楼的量,它们的梯度、旋度以及对时间的偏导数联系着电场与磁场,电场与磁场是处在二楼的物理量;而电场、磁场的旋度、散度以及对时间的偏导数则通过麦克斯韦方程组与电荷与电流关联在一起,这些量是三楼的量。通过这个分层模型,网友们理解其标量势、矢量势将会变得更容易。

麦克斯韦方程组是将电荷、电流与电磁场联系起来的方程,那标量势与矢量势怎么与电荷(密度)、电流(密度)联系起来呢?这可以通过将麦克斯韦方程组中的电场、磁场用电磁势表示出来即可得到电磁势与电荷密度、电流密度的关系。为了让电磁势的方程显得比较简单,可以借助洛伦兹规范

这样的话,电磁势与电荷密度、电流密度的关系为

可见,矢势满足的方程与标势满足的方程形式相同,于是只要解出标量势,矢量势解也能对应地写出来。这组解已经在之前的直播课程中求解出来了,标量势为

其中R21为

从标量势的解可以容易看出其中电磁场的推迟效应,这个效应表明电荷之间的作用力不是瞬时传递的,因此否定了超距的电磁作用。

张朝阳给网友们复习推迟势解

求出复杂形式的狄拉克函数积分 消去中间变量得到匀速电子的电磁势

在上一次直播课程中,张朝阳求解了匀速运动电子正前方向位置的电磁势。在这一次直播课中,他对匀速运动电子一般位置的电磁势发出挑战。首先,沿着x轴正方向匀速运动的电子的电荷密度为

其中,v是电子的运动速度。这样的模型是满足绕着x轴的旋转对称性的,因此可以只求出x-y平面的电磁势,一般位置的电磁势可以通过旋转得到。于是,z1=0,相应的标量推迟势为

上式第二行已经将y2与z2的狄拉克函数积掉,最终只剩对下x2的积分。由于z1=0,所以最后一行中的R21为

为了将最后的狄拉克函数积分掉,张朝阳介绍起狄拉克函数的性质。对于任意一个光滑的函数f(x2),狄拉克函数满足

可是这里面临的狄拉克函数不是这种简单形式的,而是形如δ(f(x))的。不过,这样的狄拉克函数可以化成简单形式的狄拉克函数。如果f(x)=0的解存在且只存在一个,设这个解为x0满足f(x0)=0,并且f(x)在x0处的导数不等于0,那么

有了这个结论,就可以求出前面关于x2的积分了。为此,设函数f(x2)为

其中β=v/c。可以证明,存在且仅存在一个x20满足f(x20)=0,因此可以直接对δ(f(x2))使用前面关于狄拉克函数的性质。这个性质需要知道f(x2)在x20处的导数。首先有

另一方面,根据R21的定义,有

上式两边同时对x2求导可得

于是

将这个结果代回f(x2)的导数式子中立即得到

设R20为

它是R21在x20处的取值。借助前面介绍的狄拉克函数的性质以及f(x2)的导数公式,可以得到

由于电子不可能超光速,所以β=v/c必定小于1。根据R20的定义,容易知道

所以必然有

可见上式左边的量的绝对值会等于它自身,于是得到

将这个积分结果代回前面的标量势,可得

这个结果已经不包含任何积分了,但是它还不是最终想要得到的结果,因为这个式子里边含有未知的变量x20与R20。标量势是关于空间坐标r1与时间坐标t的函数,因此需要通过r1的各个分量与时间t将x20与R20表示出来。

根据x20的定义式,有

所以

其中已经设了a=x1-vt。

另一方面,根据R20的定义,有

其中已经代入了前一个式子关于x1-x20的结果。将上式的平方展开,移项可得

这是关于R20的一元二次方程,它的解为

其中γ=1/√(1-β^2)。由于β=v/c<1,所以

根据定义,R20应该大于零,所以应该舍去其中的负数解,这样就得到

有了这个结果,以及前面得到的x20与R20的结果,标量势可以改写为

由于矢量推迟势解与标量推迟势解的形式是类似的,并且电子只沿x轴正方向运动,因此电流只有x分量,其他分量等于0,这样立即知道矢量势的非零分量只有x分量Ax,它等于

张朝阳求解出匀速运动电子的推迟势

验证电磁势的四维矢量变换性质 求解匀速电子的电磁场

狭义相对论中的洛伦兹变换形式为

这个变换关系可以写成如下的矩阵形式

通过矩阵求逆,可以得到洛伦兹逆变换为

在上一次直播课中,张朝阳介绍到电磁势可以构成四维矢量(Ф/c,A),它们遵循与时空坐标一样的洛伦兹变换关系。在这次直播课中,他借助刚求出来的电磁势公式,对电磁势的变换关系作出了验证。

首先,在与电子保持相对静止的参考系S’上,只有静止的电荷而没有电流,电磁势四矢量为

其中,R’是场点到电子(S’原点)的距离。

如果电磁势确实构成四维矢量,那么它必然满足洛伦兹变换,于是实验室参考系S上的电磁势为

可见Ay与Az都等于0,这符合前面的结果。然后,其中的标量势为

这与前面直接积分的结果一致。同样,可以得到与前面积分结果一致的矢量势分量Ax:

由此可见,电磁势确实能够组成一个满足洛伦兹变换的四矢量。

张朝阳介绍电磁势的洛伦兹变换

验证完电磁势的变换性质之后,张朝阳演示了怎么计算电场的x分量:

由于Ax是直接依赖于x1-vt的,并且除了相差一些系数之外,Ax与标量势形式一致,因此可以得到

将其代入Ex的式子中,可得

由于时间仓促,没有计算其他分量的电场与磁场,不过张朝阳鼓励网友们尝试一下。他还给出了S系中匀速运动电子的电磁场与S’系中静止电子的电磁场的关系式:

张朝阳强调,这不是普通的四维矢量变换关系。电场与磁场实际上可以组成一个二阶(反对称)张量,它的变换形式要比四维矢量的要复杂。他还根据上式向网友们指出,匀速运动电子的电场线是向着垂直速度方向聚拢的,靠近速度方向及其反方向的电场线会相对变得更稀疏。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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