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电磁势能构成四维矢量吗?《张朝阳的物理课》求解匀速运动点电荷的电磁势

原标题:电磁势能构成四维矢量吗?《张朝阳的物理课》求解匀速运动点电荷的电磁势

如何求解匀速运动点电荷的电磁势?为什么说电磁势可构成闵氏空间的四维矢量?9月11日12时,《张朝阳的物理课》第八十三期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先带着网友复习了光速不变与牛顿力学的矛盾,指出研究电磁理论在坐标变换下的表现的重要性。

首先,写出匀速运动点电荷的电荷密度与电流密度,利用上节课求出的电磁势一般解的表达式,直接计算出运动电荷的电磁势,并与点电荷共动坐标系下的电磁势作对比。接着,假设电磁势可构成四维矢量,并利用洛伦兹变换求得运动电荷的电磁势,发现与直接用电荷电流密度的计算结果一致。

直接计算运动电荷的电磁势

之前的课程已经讲解过伽利略速度叠加原理,会导致运动物体可以有无穷大的速度,并且不存在与参考系(特指惯性系)无关的不变速度。而由麦克斯韦方程组解出的电磁波传播速度c是一个与参考系无关的不变速度,这与伽利略叠加原理,或说与整个牛顿力学框架相矛盾。

于是人们设想存在一种传播电磁波的介质,称为以太,而麦克斯韦方程组对应的参考系是相对于以太静止的参考系,这样解出的光速c只是相对于以太的电磁波传播速度,并不是对于所有参考系都成立的。

但是实验上并没有发现以太的存在,迈克尔逊-莫雷实验证明光速在不同惯性系和不同方向上都是相同的,由此否认了以太的存在,动摇了当时已存在百年的牛顿力学的根基。爱因斯坦认为麦克斯韦方程组对于任何惯性系都是成立的,光速确实是个与参考系无关的不变速度,由此建立了狭义相对论。

为了理解磁理论在坐标变换下的表现,来计算一个简单的例子,即一个匀速运动点电荷的电磁势与电磁场。设以速度v向x正方向匀速运动的点电荷在时间t等于0时刻刚好在坐标系S的原点x=0,那么它对于的电荷密度只有在(x=vt,y=0,z=0)时才不为零,并且在该点的电荷密度为无穷大,设点电荷的电荷量为q,那么电荷密度可以写为:

上节课已经解出了电势与电荷密度的关系,原则上只需把上述电荷密度代入即可得到任意点的电势,但为了方便计算,这里只考虑在x轴上的电势,即y=z=0的特殊情况。利用上节课的电势表达式可得到t时刻x=x1处的电势为:

注:上式中r12=|x1-x2|,由于这里只关心x1>vt的情况,当x1-x2<0时,x2-v(t-|x1-x2|/c)=x2(1+v/c)-vt-x1v/c>x1(1+v/c)-vt-x1v/c=x1-vt>0,但δ函数在x2-v(t-|x1-x2|/c)≠0时都是零,所以只有x1-x2>0的区间有贡献,于是积分中r12可直接写为r12=x1-x2 。下面遇到的类似情况也是相同处理。

为了继续往下计算,接下来需要用到δ函数的一个性质:

其中α>0。

这样就可以把x2前面的系数提出来并对x2进行积分:

非常神奇的是,有推迟效果的电势与电荷静止在vt的电势一样。

(张朝阳利用δ函数的性质求解匀速运动电荷的电势)

但这里要对比的是电势在不同参考系下的值,设在S‘系中,电荷静止在S’原点x’=0处,即S’系相对于S系沿x轴正方向以恒定速度v运动,由洛伦兹变换可得S系中的坐标(t,x1)对应于S’系的坐标x’1=γ(x1-vt)。由于电荷静止在S’原点x’=0处,所以S’系中x=x’1处的电势φ’为:

可以发现同一时空点的电势,在不同坐标系下并不相等,而是相差一个系数γ。

讨论完x轴上电势的求解,接下来讨论磁矢势的求解。上节课已经求出磁矢势与电流密度的关系为:

而上述描述的匀速运动点电荷的电流密度为:

其中矢量v的方向沿x正方向,因为要具体求解磁矢势A的各个分量,也将电流密度具体写成分量的形式:

可以发现电流密度的y分量与z分量都是零,由磁矢势与电流密度的关系马上看出磁矢势A的y分量与z分量也是零:

那么结合x轴上电势φ只与y和z都无关的事实,根据电场与电磁势的关系E=-∇φ-∂A/∂t可知x轴上的电场E的y分量与z分量为零,即电场在x轴上只有x分量。

磁矢势A的y与z分量为零,除了能知道电场E在x轴上的信息之外,还可利用磁场B与磁矢势A的关系B=∇×A,可得磁场在全空间的x分量是零:

为了方便计算,接下来只关注x轴上的情况。由于整个体系具有绕x轴旋转对称性,对应的电磁场也需要具有绕x轴的旋转对称性,即电磁场绕x轴旋转任意角度后与未旋转前一致。设x轴上的磁场B的y分量与z分量为By与Bz,那么绕x轴旋转180°后变为-By与-Bz,由于旋转对称性要求旋转前后磁场B不变,即-By=By与-Bz=Bz,由此可得By=Bz=0,这说明磁场B在x轴上为零。而对于电场x分量的求解,还需要求出磁矢势A的x分量。由电流密度的x分量可得磁矢势A的x分量为:

其中,上式的积分形式与刚刚求解的电势积分形式一致,所以只需要类比即可完成上述积分。而由于在跟随电荷共动的坐标系S’中,电荷是静止的,电流密度为零,对应的磁矢势A’也为零,这也显示了磁矢势在坐标系下的变换与电势还是有很大区别的。

有了磁矢势的x分量,根据电场与电磁势的关系,可以求得S系下x轴上的电场为:

为了显示电场在坐标变换下的改变,也求解出S’系中对应的电场,由于电荷在S'系中的原点处静止,可以直接写出电场为:

其中,上式第二个等号利用了洛伦兹变换x’1=γ(x1-vt)。可以发现,电场的x分量在坐标变换下不变。

(张朝阳求解匀速运动电荷的电场)

利用磁矢势的四维矢量的性质求解运动电荷电磁势

之前的课程介绍过用闵可夫斯基空间表示的狭义相对论的方法,四维矢量在参考系变换下满足洛伦兹变换,具体的说,若S’系相对于S系以速度v沿x轴正方向匀速运动,那么S系中的四维矢量X在S’系中具有如下形式:

其中变换矩阵为:

变换矩阵R中的三角函数与两参考系相对运动速度v的关系为:

四维矢量的上述协变性质在可以非常方便得推导出质速关系质能关系,这里在电磁学里也能带来极大的方便。假设如下形式的电磁四维势可以构成四维矢量:

由于S’系中电荷静止在原点处,对应的在x’轴上的电磁四维势非常容易求出:

其中:

根据四维矢量满足的洛伦兹变换的逆变换,可以求得S系中的电磁四维势:

从S系下的电磁四维势可以读出匀速运动点电荷的电磁势为:

其中用到了坐标变换x’1=γ(x1-vt)。发现这些用四维矢量协变性计算得到的结果,与先前用运动点电荷的电流密度直接计算的结果一致,实际上这不仅仅是在x轴上两种方法的结果一致,在全时空间也都一致,这说明电磁势组成的电磁四维势确实是四维矢量。

(张朝阳利用四维矢量的性质计算电磁势)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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