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电阻的微观起源是什么?《张朝阳的物理课》带你认识电容与电阻

原标题:电阻的微观起源是什么?《张朝阳的物理课》带你认识电容与电阻

无穷大均匀电流板周围的磁场是怎样的?无穷大均匀带电平面的电场分布是怎样的?平行板电容是什么?怎么用微观物理理解电阻?8月12日12时,《张朝阳的物理课》第七十八期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了上一次直播课的内容,接着介绍如何计算无穷大均匀电流板周围的磁场分布与无穷大均匀带电平面周围的电场分布,进而借助无穷大带电平面介绍了平板电容器。最后,张朝阳介绍了电阻的微观解释,并分析了电阻随温度的变化情况以及电阻在通电情况下的功率。

无穷大均匀电流板 均匀磁场分布两边

课程一开始,张朝阳先给网友们复习了上一次直播课的知识,其中包括带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力、洛伦兹力在质谱仪、回旋加速器等的应用,以及洛伦兹力对极光的解释。

随后,他开始介绍电磁学知识。最先介绍的是无穷大均匀电流板的磁感应强度计算方法。所谓无穷大均匀电流板,是指平面上流过均匀的电流,电流指向固定的方向。假设通电平面垂直屏幕放置,电流方向从屏幕内指向屏幕外,那么到通电平面距离为R的位置上磁感应强度多大呢?

计算无穷大均匀电流板所用示意图

假设(线)电流密度为i,那么无穷长电流元dI=idx。根据之前课程的计算结果,无穷长电流dI在距离为l的位置上产生的磁感应大小为

磁感应强度是矢量,要计算全部电流所产生的磁场的话,必须考虑矢量叠加。如上图所示,磁感应强度在垂直平面的方向上的分量会互相抵消,因此只需要考虑平行于电流平面的分量即可。平行电流平面的分量等于磁感应强度大小的R/l倍,于是总的磁感应强度为

注意正切函数在角度θ=0时,tanθ=0;在θ为π/2时,tanθ为正无穷。因此,arctan函数在自变量等于0时取零值,在自变量趋向于无穷大时函数值趋向于π/2,所以

可见磁感应强度的大小是常数,不依赖于距离R。对此结果,可以作一个定性的理解。无穷长直线电流产生的磁感应强度大小随距离成反比,当靠近电流平面时,距离最近的那部分电流产生的磁感应强度比较强,但是距离较远的电流产生的磁感应强度经过投影之后会比较小;而当远离电流平面时,距离最近的那部分电流产生的磁感应强度相对较弱,但是由于垂直距离变大,远处的电流对所求位置的投影角度变小了,所以导致距离较远的电流产生的磁感应强度经过投影之后会比较大。最终磁场叠加之后得到总的磁感应强度不随距离R而改变。

张朝阳计算无穷大均匀电流平面周围的磁感应强度

使用电流元来计算磁感应强度一般都需要处理较为复杂的积分。不过,对于这种对称性良好的情况,使用安培环路定理会更方便,所得结果还能和积分得到的结果互相印证。对于无穷大均匀电流面的情况,根据对称性可以知道磁感应强度必然是平行于电流面且与电流方向垂直的。

进一步地,根据右手定则,可以知道电流面两边的磁感应强度是方向相反的。这样的话,可以作一个矩形回路,矩形的其中两边处于电流平面两边并且并行于磁场,另外两边垂直于电流平面。磁感应强度在垂直电流平面的路径上积分为0,在平行于电流平面的边上积分为2BL,L为边长。然后,容易知道经过环路的总电流为iL。根据安培环路定理,有2BL=iLμ0,所以B=i*μ0/2,与前面的积分结果一致。

无穷大均匀带电平面有均匀电场 平行板电容器可存储电荷

对于静电场,也有类似于静磁场的结果:

这两个式子的积分形式为

其中第一个式子是高斯定理。对于一些对称性良好的情况,高斯定理可以用于求电场分布,它的作用类似于磁场中的安培环路定理。当然,也可以通过对电荷进行积分来求电场大小:

这个式子对应于静磁学中的毕奥-萨伐尔定律。

在此前课程中介绍过上述公式的应用。这一次,为了与磁学的计算形成好的对比关系,张朝阳计算了无穷大均匀带电平面的磁场分布。

假设无穷大带电平面的电荷面密度为σ,考虑距离带电平面为R的点上的电场。容易知道,带电平面上绕着这一点一圈的电荷微元在这个点上的电场的平行分量互相抵消,只剩下垂直于带电平面的分量。关于这一点,可以参考如下示意图:

面积元dS产生的电场在垂直方向的投影为

在带电平面上建立极坐标,半径用x表示,角度用Ф表示,那么

所以,总的电场为

这个结果表明无穷大均匀带电平面的电场分布与无穷大均匀电流平面的磁场分布类似,都是均匀分布。

张朝阳计算无穷大均匀带电平面的电场

由于这里的模型具有良好的对称性,电场分布也可以用高斯定理求得。首先,根据对称性可以知道电场只能垂直于带电平面,并且平面两边的电场方向相反;然后,取一个柱形环面,柱面平行于带电平面,面积为A。根据高斯定理容易得到

这个结果与前面通过积分求出的结果一致。

如果空间存在不止一个均匀带电平面呢?这时候可以通过叠加原理得到电场的分布。比如,对于带相反电荷量的两个无穷大平行平面,考虑了电场方向之后,可以知道两板之间的电场大小为

板外的电场为

带相反电量的两个无穷大平板可以作为平行板电容器的理想模型。平行板电容器由靠得很近的两块导体板组成,接上电压之后,板内的电场为均匀电场。根据电势与电场的关系

容易知道在平行板电容器内有

其中x表示到某一极板的距离。这样就有

设两极板距离为d,那么两极板的电势差为Ed。再设极板面积为A,单块极板带电量的绝对值为Q,那么有

所以

其中的常数C是电容器的电容值。从这个结果可以看出,电容表示的是单位电压下电容器单个极板所存储的电荷量。

电子运动受阻导致电阻 温度改变影响电子运动

讲解完平行板电容器,张朝阳开始介绍电阻。

电阻如何形成?导体中的自由电子在一般情况下就像一团理想气体那样在导体内部自由运动。由于运动方向是随机的,整体表现为没有电流的产生。当导体内出现电场时,电子“气体”会在电场的作用下整体地移动,对外表现为电流的出现。忽略电子的热运动速度,电子在电场中的加速度a满足

可见如果电子没有受到阻碍的话将会一直加速运动直到速度达到非常大。然而,这是不可能的,电子必然会受到原子的散射。假设电子在碰撞到原子之后速度降为零,设电子被碰撞的平均时间间隔为t0,那么电子平均能达到的最大速度为

所以电子“气体”的平均速度为

由于电流密度与电荷密度的关系为j=ρu,设自由电子数密度为n,那么ρ=ne。假设电子的运动发生在导线内,导线的横截面积为A,长度为d,电场均匀分布在导线内部,电场方向与导线方向平行,那么导线的电流大小为

其中使用了关系V=Ed。

移项就可以得到欧姆定律:

式中的R正是此模型下的电阻公式。虽然这个模型忽略了很多因素,但是很好地反映了电阻的本质。

张朝阳推导电阻的微观表达式

张朝阳强调,这个公式可以体现出电阻的一些性质。当多个电阻串联在一起的时候就相当于d变大了,其他量不变,由于总长度等于各部分长度只和,所以总电阻是R=R1+……+Rn;当多个电阻并联在一起的时候就相当于横截面积A增大了,其他量不变,总面积等于各部分面积之和,所以1/R=1/R1+……+1/Rn。

对于串联、并联的等效电阻,更一般的分析应该通过电路定律入手。当n个电阻串联在一起时,如果通以恒定电流I,总电压等于各个电阻的电压之和:U=U1+……+Un。串联时每个电阻的电流都是相等的,对第i个电阻应用欧姆定律可以得到Ui=I*Ri,所以U=I*(R1+……+Rn)。如果把这一串电阻等效为一个总电阻R,它满足欧姆定律U=I*R,所以R=R1+……+Rn,这就是串联时的等效电阻公式。当n个电阻并联在一起时,各个电阻两端的电势差都是U,流过电路的总电流I等于各个电阻的电流之和:I=I1+……+In=U/R1+……+U/Rn。假如把这些并联电阻等效为一个总电阻R,那么R满足I=U/R,这样立即得到1/R=1/R1+……+1/Rn,这就是并联时的等效电阻公式。

张朝阳强调,从这个公式可以看出电阻的一些性质。当多个电阻串联在一起的时候就相当于d变大了,其他量不变,由于总长度等于各部分长度只和,所以总电阻是R=R1+……+Rn;当多个电阻并联在一起的时候就相当于横截面积A增大了,其他量不变,总面积等于各部分面积之和,所以1/R=1/R1+……+1/Rn。

从电阻的公式可以发现,d和A是宏观参数,电子质量与电子电荷都是物理常数,因此微观参数中只有n与t0这两个能够影响到电阻的数值。设电子受原子碰撞的平均自由程为l0,电子热运动速度为v0,那么t0约等于l0/v0。根据能均分原理,有

于是

所以

如果忽略温度对n与l0的影响,可以看出电阻R是随温度升高而增大的,这个结果符合大部分电阻的特性。

最后,分析电阻在通电时的功率特性。由于电流表示单位时间通过的电荷量,因此单位时间内流过电势V的电流对外功率为IV,所以通以电流I时电阻的功率为P=IV=R*I^2。电阻会把这部分电能转化为热能。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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