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通电螺线管的磁场是怎样分布的?《张朝阳的物理课》介绍安培环路定理的应用

原标题:通电螺线管的磁场是怎样分布的?《张朝阳的物理课》介绍安培环路定理的应用

通电螺线管的磁场是怎样分布的?质谱仪与回旋加速器的原理是怎样的?为什么在地球两极存在极光?8月7日12时,《张朝阳的物理课》第七十七期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,介绍了怎么计算通有反向电流的无穷长直导线中垂线上的磁场以及无穷长螺线管的磁场分布,然后转向讨论带电粒子在磁场中的运动,并以此为基础讨论了质谱仪、回旋加速器的物理原理,并进一步解释了地球极光的形成原因。

双导线降低磁场外泄 螺线管制造均匀磁场

课程一开始,张朝阳带着网友们复习了电动力学里边常用的六个方程:

其中前四个方程构成麦克斯韦方程组。这六个方程是普适的。在很多情况下,处理方式是不随时间改变的情况,这时候上面的方程中对时间的偏导数都等于零。特别地,第四个麦克斯韦方程变成了:

它的积分形式就是安培环路定理:

其中等号右边的积分曲面是等号左边积分环路所围着的任意一个曲面。安培环路定理可以用来计算一些对称性良好的电流分布的磁感应强度,不过在不规则电流的情况下还是得回到毕奥-萨伐尔定律:

在上一次直播课中,张朝阳分别用安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律计算了无穷长电流的磁感应强度。在这一次直播课中,张朝阳继续介绍了更多的磁场计算的例子,他最先介绍的是通有反向电流的两根无穷长直导线中垂线上的磁感应强度的计算。

张朝阳介绍无穷长反向直线电流对中垂线上的磁感应强度计算

假设两根无穷长直导线的距离为d,通过的电流都是I,电流方向相反,空间上的一点到两根直导线的距离都是r,示意图可参见于上图。根据上一次直播课的结果,两根电流在目标点上的磁感应强度大小为:

B1与B2的方向可见于示意图。根据矢量叠加原理,B1与B2竖直分量的磁场会互相抵消,只留下水平分量,总磁场的大小为:

这个磁感应强度随距离r的平方成反比,比单根导线时的随距离r成反比具有更快的衰减速度,因此双导线组能够很好的避免磁场泄露出来,有效降低磁场对人体的影响。

上一次直播课中张朝阳展示了直接使用毕奥-萨伐尔定理来计算磁感应强度的繁琐计算过程,这一次他鼓励网友们计算有限粗的导线在通以均匀电流密度时外部的磁感应强度分布。他强调,如果使用安培环路定理,直接一步就能得到结果,不过使用毕奥-萨伐尔定律可以训练积分能力。为了方便网友们计算,他直接给出了相应的积分式子以及最终结果:

其中下标S表示对r的积分只从0积到电流柱的半径。

接下来,张朝阳介绍了无穷长螺线管的磁感应强度分布。无穷长螺线管可以看成是通有环绕电流的导体管。根据右手定则以及系统的对称性可以知道,磁场的方向只能平行于螺线管的方向,并且磁感应强度大小只与到螺线管中心的距离有关。把螺线管放在z轴上,那么磁感应强度可以写为:

其中r表示到螺线管中心的距离。根据系统的对称性,可以知道采用柱坐标来计算会更方便。在柱坐标下第四个麦克斯韦方程可以写为:

由于在螺线管外部以及空腔内部,电流密度都是0,所以:

可见,无论在螺线管外部还是螺线管的空腔内,磁感应强度都是均匀分布。

进一步的,由于无穷远处的磁感应强度应该为0,所以可以知道整个外部都是没有磁场分布的。空腔内的磁感应强度怎么求呢?可以用安培环路定理求出来。为此,需要作如下图所示的环路:

张朝阳计算螺线管的磁感应强度

环路由四条线段组成,其中两条线段与磁场垂直,对环路积分不作贡献,一条经过螺线管外部,而外部并没有磁场,还有一条经过空腔内部,并与磁场平行。设最后这条线段长度为L,于是整个环路积分为BL。另一方面设螺线管的电流密度为常数,通电部分厚a,那么根据安培环路定理有:

其中a与j0的乘积正是螺线管单位长度通过的电流。

至于螺线管通电位置的磁感应强度,根据前面的结果可以知道:

结合空腔内与外部的磁感应强度大小,立即得到通电位置上的磁感应强度大小为:

质谱仪、回旋加速器的原理 地球极光的成因

介绍完磁感应强度的一些计算例子,张朝阳开始介绍了洛伦兹力。带电粒子在电磁场中的受力为:

如果只有磁场存在,那么带电粒子只受到洛伦兹力的作用:

可以看到,洛伦兹力与速度垂直,因此洛伦兹力对粒子的功率恒等于0,所以洛伦兹力不改变粒子的动能,只改变它的运动方向。

假如带电粒子射入均匀的磁场中,初始的运动方向与磁场垂直,那么带电粒子将在洛伦兹力下作圆周运动,径向分量的平衡方程为:

此时带电粒子的圆周运动半径为:

根据这个式子,可以理解质谱仪的原理。首先,人们把粒子的q/m称为荷质比。当不同的带电粒子经过速度筛选仪后以相同的速度垂直入射均匀磁场,那么不同荷质比的粒子将会以不同的半径作圆周运动,并最终打到屏的不同位置上。利用质谱仪可以求出粒子的荷质比,以及区分不同的粒子等等。

带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动角频率等于多少呢?这也可以通过前面的式子推导得出,结果为:

可见,圆周运动的角频率与粒子入射速度大小无关,这一点正是回旋加速器的关键。

回旋加速器的示意图

简单地说,回旋加速器包含有两个小半圆盒,盒上垂直通上均匀磁场。盒之间的缝隙加有电场,从半圆盒射出的粒子经过缝隙会被电场加速进入另一个半圆盒子继续作半圆周的运动。由于带电粒子往复在狭缝中穿梭,为了实现持续的加速效果,狭缝上加的电场必须跟随粒子一起改变方向。所幸的是,粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动角频率与速度无关,因此只需要在狭缝的两块极板上通以恒定频率的交流电即可实现对带电粒子的持续加速。

最后,张朝阳给网友们科普了地球极光的形成原因。通过介绍,当带电粒子垂直射入均匀磁场,带电粒子将会做圆周运动。如果带电粒子是斜着射入均匀磁场呢?这时候带电粒子垂直磁场的速度分量将会不断地被洛伦兹力改方向,同时平行于磁场方向的速度分量则不受影响,于是带电粒子将会绕着磁感线前进。

对于弯曲的磁感线,如果磁感线的弯曲程度不是很大,那么磁场对粒子的洛伦兹力还会使得带电粒子跟着磁感线一起偏转,最终表现为带电粒子绕着磁感线前进。另一方面,太阳喷射的太阳风还有很多电子与质子,这些带电粒子到达地球附近后会沿着地球磁场的磁感线向地球两极运动。当这些带电粒子接近大气层后就会激发空气中的氧原子与氮原子,从而使得它们发出极光。从这里可以看出,南北极附近的地磁场并不会屏蔽高能带电粒子,因此这里的高能辐射比赤道的要强不少。

张朝阳介绍极光的成因

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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