近期，韦伯望远镜（JWST, James Webb Space Telascope）经过调试，成功得到遥远星系的高清照片。韦伯望远镜没有采用之前哈勃望远镜那样的绕地轨道，而是选择在了日地系统的L2拉格朗日点。拉格朗日点是什么点？相关位置该怎么求？为什么把空间望远镜放在那里？7月22日、7月24日中午12时，《张朝阳的物理课》第七十三期、第七十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，介绍了拉格朗日点的概念以及这些点的稳定性问题，并借助牛顿第二定律与牛顿万有引力定律推导了L2拉格朗日点与L4拉格朗日点的位置。
拉格朗日点 宇宙停车场
张朝阳先简单介绍了韦伯望远镜，然后转入正题，正式讲解日地系统的拉格朗日点。
做椭圆轨道的行星系统拉格朗日点的定义比较微妙，为了简单起见，这里假设地球公转轨道为圆轨道。日地系统的拉格朗日点一共有五个，当物体处于这五个点之一时，地球与太阳对物体的引力合力刚好可以让这个物体绕着日地系统的质心公转，并且公转周期与地球公转周期一样。
其中L1，L2，L3这三个拉格朗日点处在连接太阳与地球的直线上。详细地说，L1处在日地之间，L2处在太阳到地球的延长线上，L3处在地球到太阳的延长线上。L4与L5不在日地直线上，但是近似处于地球的公转轨道上，而且L4(以及L5)到太阳的连线正好与日地连线相夹60度。
张朝阳介绍拉格朗日点
详细的分析表明，L1，L2，L3这三个点不是稳定平衡点，即使物体精确地处在这三个点之一上，只要有一点点扰动，这个物体就会逐渐偏离平衡点，并且偏离会越来越大。张朝阳对L2的不稳定性作了一些说明。当物体处于L2位置时，太阳、地球对物体的引力刚好等于物体(与地球同步的)绕日公转时的向心力。如果物体稍微偏向太阳与地球，由于引力与距离平方成反比，物体所受引力会增大，而角速度固定的转动所需向心力与距离成正比，于是所需向心力减少，因此，引力大于所需向心力，物体必然会越来越偏离L2点；对于反方向的偏离，也可以进行类似的分析。
所以，可以知道L2点是一个不稳定点。另一方面，在日地系统上，L4与L5是稳定的平衡点，处在这两处的物体即使受到了微扰，也不会过大地偏离平衡位置。
韦伯望远镜被安置在了L2点，但是L2不是一个稳定平衡点，这样没有问题吗？实际上，韦伯望远镜并没有静止在L2点上，而是近似地绕着L2点在作圆周运动，轨道平面垂直于日地连线。这么做的原因主要有两个，第一是这样能大大降低轨道的不稳定性，从而降低韦伯望远镜的轨道调整频次。第二个原因是，L2点处在地球背面，无法有效接收太阳能，而目前韦伯望远镜绕L2点的轨道半径足够大，能够逃脱地球的遮挡，从而保证太阳能的接收。
为什么不把韦伯望远镜放在L4或者L5点呢？这里边也涉及到两方面原因，第一个原因是L4点距离地球太远，不便于发射与通讯；第二个原因是，L4与L5是稳定平衡点，那么那里很可能存在一些小的陨石、星尘之类的东西，它们会对空间望远镜造成危害。正因为L4与L5点的稳定性，它们又被称为“宇宙停车场”。张朝阳还介绍到，由于木星质量很大，它的L4与L5点上确实汇聚了很多小的天体。
张朝阳介绍木星的L4与L5点上的小天体)
考虑公转惯性力 运用平衡条件求L2
接着，张朝阳开始介绍怎么计算L2点的位置。记太阳的位置矢量为r1，地球的位置矢量为r2，r为日地距离，ms与me分别是太阳与地球的质量，根据万有引力定律与牛顿第二定律，可以得到太阳与地球的运动方程为：
其中e_{12}与e_{21}分别是太阳到地球以及地球到太阳的单位矢量。将这两式相加可以得到：
日地系统的质心为：
于是：
这个结果本质上就是日地系统的质心运动定律。日地系统的质心可以看成是不动的，地球与太阳都绕着日地质心运动。由于太阳质量远远大于地球质量，日地质心非常靠近太阳的位置，因此在很多计算上可以直接将日地质心近似为太阳中心。不过，后面会介绍到，在计算L4位置时，日地质心与太阳中心不完全重合是非常关键的。
地球到日地质心的位矢为：
由于质心位矢的加速度为0，所以：
定义约化质量：
并且考虑到地球的运动方程：
可以得到：
其中M是日地系统的总质量。这个结果意味着地球绕着日地质心的运动可以看成是一个质量为μ的物体在质量为M的星球引力场下绕着这个星球的运动，而这个质量为M的等效星球的位置正好处在太阳位置上。根据这个结果，可以得到地球绕着日地质心的公转角频率满足：
其中已经将日地距离记为r0。
当物体处在L2点时，要求它与地球同步地绕着日地质心公转，因此它具有离心加速度：
其中r_e是地球到日地质心的距离，r2是L2点到地球的距离。
张朝阳解释说，根据离心加速度公式，角速度固定时，距离中心越远，离心加速度越大。万有引力的趋势与此相反，距离越远，引力越小。当物体处在地球位置时，离心加速度刚好与太阳引力加速度平衡，但是当距离增大的时候，这种平衡就打破了，这时候刚好可以把地球的引力考虑进来，重新让运动达到平衡，这就是L2点的本质。
由于r_e与r0非常接近，因此可以将r_e近似为r0。根据前面介绍的平衡条件，有：
其中已经作了一次仅保留前两阶的泰勒展开。将ω0的式子代入：
化简上式可得：
于是：
考虑到日地距离约为1.5亿公里，立即可以知道r2约等于150万公里。
张朝阳介绍L2点的计算
日地质心不与太阳位置重合 适当近似求出L4位置
计算完L2点到地球的距离，张朝阳开始计算L4点的位置。他强调，计算L4点时不能简单地认为日地质心与太阳中心重合，必须考虑到这两点之间的偏离。计算L4点的示意图与相关量的定义可见于下图，其中L4点位于几何图最上边的那个顶点上，r1为太阳到日地质心的距离，L4点到太阳的方向和它到日地质心的方向的夹角记为δ。
张朝阳介绍说，这次计算的目的是在地球轨道上寻找一点，在这一点上太阳的引力与地球的引力正好可以让物体绕日地质心作圆周运动，周期与地球公转周期一致。因此，L4点距离太阳的距离取为日地距离r_s。
计算L4点的示意图与过程
首先，太阳到日地质心的距离r1约等于：
把L4点的受力分解为轨道切向部分与径向部分。由于离心加速度只沿径向部分，所以切向部分的平衡条件为：
其中a_s与a_e分别表示太阳与地球在L4点的引力加速度大小。根据正弦定理，有：
将其代入切向平衡条件可以得到：
再将前面关于r1的式子代入，有：
化简上式，并注意到在δ很小的情况下有r_s约等于r_c，可以得到：
什么情况下这个平衡方程才满足呢？张朝阳提示说，当θ1为60度的时候这个平衡方程会成立。事实上，由于r_s约等于r_c，r_c又约等于地球到日地质心的距离，因此当θ1等于60度时，L4点、日地质心、地球中心三点将大约构成等边三角形，此时θ1=θ2，rc=r_e，因此切向的平衡条件得以满足。
解决了切向的平衡，接下来需要验证在正三角形的条件下径向的平衡是否满足。设L4点与地球同步公转时的加速度为a_c，那么径向的平衡方程为：
根据前面推导的地球公转角频率公式：
有：
注意到r_s*cos(δ)为L4-太阳连线在L4-日地质心连线上的投影，这段投影比r_c要大，长出来的部分正好等于太阳-日地质心连线在L4-日地质心连线上的投影，于是：
将此式代入前一个结果可以得到：
再将r1的式子代入，有：
另一方面，地球在L4点的引力加速度在径向的投影为：
注意到θ1与θ2都等于60度，所以：
综合这些结果立即得到：
所以，径向的平衡条件也是满足的，地球轨道上的确存在满足要求的拉格朗日点，而且这个点与日地质心、地球三者近似组成一个正三角形。
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