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洛伦兹变换如何写成张量?《张朝阳的物理课》推导电磁场张量的相对论变换

电磁张量真的是天生相对论协变的吗?洛伦兹变换也有张量形式吗?电磁场张量的洛伦兹变换和磁矢势有什么关系?8月25日12时,《张朝阳的物理课》第二百二十二期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,首先回顾了如何从电磁张量推导出麦克斯韦方程。讲解了洛伦兹变换的张量表示,并基于此计算了磁矢势的洛伦兹变换。在这之后对电磁张量及电磁场分量的洛伦兹变换也做了计算,证实了电磁张量确实是一个天生洛伦兹协变的量。

张朝阳讲解磁矢势洛伦兹变换

电磁张量推导麦克斯韦方程

在之前的课程中已经定义了电磁张量有如下形式:

对它求散度之后得到:

上边这个方程等价于如下的两个麦克斯韦方程:

再加上比安基恒等式(Bianchi identity):

就可以推出剩下的两个麦克斯韦方程:

值得指出的一点是,这个过程中洛伦茨规范并不是必须的条件,换句话说这是一个规范不变的理论。

张朝阳讲解电磁张量推出麦克斯韦方程

洛伦兹变换的张量表达

在学习了微分几何、张量表述等有力的工具后,重新回到狭义相对论的框架下讨论曾经用更“原始”的方法研究过的问题是有趣的。所谓狭义相对论,在微分几何的语言里,就是背景是闵氏时空的物理学。闵氏时空中最重要的物理量仍然是度规:

选择正交归一的坐标基矢:

在四维时空下有各种不变的物理量,这些物理量称作张量,度规是其中的一种二阶张量,之前课程中学过的黎曼曲率张量是四阶张量。狭义相对论中涉及到的很多物理量都是一阶张量,也就是四维矢量(4-vector),例如位置矢量:

时空间隔也是四矢量:

以及四速度:

其中分母是原时。

对于本节课关心的电磁场来说,最重要的一阶张量就是磁矢势4-potential:

也可以写成坐标基矢展开的形式:

磁场和电场单独并不是四维矢量,只有合起来才是,它们和磁矢势的关系有如下关系:

以及四电流密度(4-currents):

下边就要研究参考系变换下,物理量的变换规律,这也是狭义相对论的核心。考虑两个参考系,s系是静止参考系,s'系是相对于s系沿x方向以速度v运动的参考系:

其中:

相应的洛伦兹因子为:

这样洛伦兹变换的具体形式就是:

这样两参考系间的坐标变换为:

张量形式的洛伦兹变换为:

其中洛伦兹变换矩阵为:

张朝阳讲解洛伦兹变换的张量形式

电磁场物理量的洛伦兹变换

仍然在s系和s'系讨论,那么有了洛伦兹变换的张量形式后,就可以研究电磁场的各种物理量例如磁矢势的坐标变换:

之所以要研究它们,是因为电磁场天然是一个相对论协变的理论,这就是为什么总说它是应该诞生于20世纪的物理理论。有了张量这种工具,再来看看电磁场是否真的是相对论协变的就很有意义。

直接计算就可以得到磁矢势各分量的坐标变换关系,例如0分量:

代入具体的形式就有:

完全一致地可以算出:

这样就可以把磁矢势的洛伦兹变换规律写成矩阵的形式:

很容易发现,这就相当于乘上一个洛伦兹变换矩阵,并且对于任意一个一阶张量也就是4矢量来说,都是如此,这也体现了张量表示的简洁性与一般性。

但是对于二阶张量,情况就略有不同,并不是那么简单,就先按照洛伦兹变换规律来形式地计算。以电磁张量为例,它的形式为:

对应的洛伦兹变换公式为:

仍然先从分量来研究,比如电场分量的变换关系:

也就是说对于平行运动方向的分量来说有:

磁场分量的变换:

也就是同样的:

对于垂直运动方向的分量也可以做完全一样的计算,得到电场分量的变换关系:

即:

考虑到三维矢量运算关系,就可以将电场矢量的整体变换:

同样的方法计算磁场分量的变换得到:

即:

同样可以写成统一的形式即:

这样就完成了这节课的目标,得到了各个电磁场物理量的洛伦兹变换关系。

张朝阳讲解电磁张量的洛伦兹变换

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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