电磁张量真的是天生相对论协变的吗?洛伦兹变换也有张量形式吗?电磁场张量的洛伦兹变换和磁矢势有什么关系?8月25日12时,《张朝阳的物理课》第二百二十二期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,首先回顾了如何从电磁张量推导出麦克斯韦方程。讲解了洛伦兹变换的张量表示,并基于此计算了磁矢势的洛伦兹变换。在这之后对电磁张量及电磁场分量的洛伦兹变换也做了计算,证实了电磁张量确实是一个天生洛伦兹协变的量。
张朝阳讲解磁矢势洛伦兹变换
电磁张量推导麦克斯韦方程
在之前的课程中已经定义了电磁张量有如下形式:
对它求散度之后得到:
上边这个方程等价于如下的两个麦克斯韦方程:
再加上比安基恒等式(Bianchi identity):
就可以推出剩下的两个麦克斯韦方程:
值得指出的一点是,这个过程中洛伦茨规范并不是必须的条件,换句话说这是一个规范不变的理论。
张朝阳讲解电磁张量推出麦克斯韦方程
洛伦兹变换的张量表达
在学习了微分几何、张量表述等有力的工具后,重新回到狭义相对论的框架下讨论曾经用更“原始”的方法研究过的问题是有趣的。所谓狭义相对论,在微分几何的语言里,就是背景是闵氏时空的物理学。闵氏时空中最重要的物理量仍然是度规:
选择正交归一的坐标基矢:
在四维时空下有各种不变的物理量,这些物理量称作张量,度规是其中的一种二阶张量,之前课程中学过的黎曼曲率张量是四阶张量。狭义相对论中涉及到的很多物理量都是一阶张量,也就是四维矢量(4-vector),例如位置矢量:
时空间隔也是四矢量:
以及四速度:
其中分母是原时。
对于本节课关心的电磁场来说,最重要的一阶张量就是磁矢势4-potential:
也可以写成坐标基矢展开的形式:
磁场和电场单独并不是四维矢量,只有合起来才是,它们和磁矢势的关系有如下关系:
以及四电流密度(4-currents):
下边就要研究参考系变换下,物理量的变换规律,这也是狭义相对论的核心。考虑两个参考系,s系是静止参考系,s'系是相对于s系沿x方向以速度v运动的参考系:
其中:
相应的洛伦兹因子为:
这样洛伦兹变换的具体形式就是:
这样两参考系间的坐标变换为:
张量形式的洛伦兹变换为:
其中洛伦兹变换矩阵为:
张朝阳讲解洛伦兹变换的张量形式
电磁场物理量的洛伦兹变换
仍然在s系和s'系讨论,那么有了洛伦兹变换的张量形式后,就可以研究电磁场的各种物理量例如磁矢势的坐标变换:
之所以要研究它们,是因为电磁场天然是一个相对论协变的理论,这就是为什么总说它是应该诞生于20世纪的物理理论。有了张量这种工具,再来看看电磁场是否真的是相对论协变的就很有意义。
直接计算就可以得到磁矢势各分量的坐标变换关系,例如0分量:
代入具体的形式就有:
完全一致地可以算出:
这样就可以把磁矢势的洛伦兹变换规律写成矩阵的形式:
很容易发现,这就相当于乘上一个洛伦兹变换矩阵,并且对于任意一个一阶张量也就是4矢量来说,都是如此,这也体现了张量表示的简洁性与一般性。
但是对于二阶张量,情况就略有不同,并不是那么简单,就先按照洛伦兹变换规律来形式地计算。以电磁张量为例,它的形式为:
对应的洛伦兹变换公式为:
仍然先从分量来研究,比如电场分量的变换关系:
也就是说对于平行运动方向的分量来说有:
磁场分量的变换:
也就是同样的:
对于垂直运动方向的分量也可以做完全一样的计算,得到电场分量的变换关系:
即:
考虑到三维矢量运算关系,就可以将电场矢量的整体变换:
同样的方法计算磁场分量的变换得到:
即:
同样可以写成统一的形式即:
这样就完成了这节课的目标,得到了各个电磁场物理量的洛伦兹变换关系。
张朝阳讲解电磁张量的洛伦兹变换
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