在微分几何中一阶张量、二阶张量的协变导数是怎样的？为什么协变导数下指标分量的表达式中克氏符前面会有一个负号？4月6日12时，《张朝阳的物理课》第二百零七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们复习张量的概念，然后从对一阶张量的微分变化得到其协变导数和克氏符，并推导一阶张量协变导数的下指标分量，和二阶张量的协变导数表达式。
介绍各阶张量 复习一阶张量协变导数的上指标分量
在以前的直播课中，张朝阳介绍了物理量的多样性。这些物理量如果根据坐标变换的特性来划分的话，可以分成各种不同阶数的张量。零阶张量其实就是标量。比如说，在忽略温度随参考系变化的情况下，温度场T(x^α)就是一个标量场。一阶张量可以理解成以前介绍过的矢量，一般可以通过加一个箭头表示为
一阶张量在三维空间中有三个分量，在四维时空中有四个分量。
除了标量与矢量，张朝阳还介绍过二阶张量，可以用两个箭头来表示：
在四维时空中，二阶张量有16个分量。
以大家熟悉的三维空间为例，在空间坐标作出微小变化时，标量场的微分变化为
其中矢量微元dr是
如果使用微分几何中常用的记号，δT可以被写为
这就是零阶张量的微分变化的表达式，可以证明，(∂_α T)是一个一阶张量。
在上一节直播课中，张朝阳引入了基矢及其对偶基，它们满足
在标准教科书中，一般使用“协变”、“逆变”来表示不同指标位置的量，但是这样的名称不易于直观理解。本系列课程采用“上下”来区分。根据上一次直播课的推导，矢量可以按下指标基矢进行展开：
并且可以通过如下推导得到展开系数的表达式：
因此可以得到上一次直播课所介绍过的结果：一个矢量可以表示为下基矢的线性组合，组合系数正是逆变分量（上指标分量），而逆变分量是这个矢量与上基矢的内积（点乘）。
另一方面，矢量F也可以按照上基矢来进行展开：
并且有
由此可见：协变分量（下指标分量）是一个矢量按上基矢进行展开的系数，它是该矢量与下基矢的内积（点乘）。
除了上下指标分量（逆变/协变分量）之外，张朝阳在上一次直播课中还介绍了矢量微分变化的上指标分量。根据张朝阳的讲解，矢量场F的微分变化δF依然是矢量场，因此可以按下基矢进行展开为
根据前面的介绍，该微分变化的上指标分量可以被写为它和上基矢的内积
利用微分变化的定义以及莱布尼兹法则，可以得到
在一般的微分几何中，不同位置的基矢属于不同的矢量空间，因此不能直接相加减。上式中的下基矢的微分变化没法很好地定义，除非事先定义了平行移动，将其中一个位置的基矢“平移”到另一个位置上，再做减法，否则直接对两个位置的基矢相减是不合法的，也即，直接对基矢求坐标导数是一个不那么站得住脚的操作。
为了回避这个困难，可以假设目前的弯曲时空已经被嵌入一个高维的平直时空中，那么上式的基矢将是高维平直时空的基矢的子集。在平直时空中，不同位置的基矢是可以直接相减的，因此可以对其定义坐标偏导数，这样就可以将基矢的微分变化写为
于是，有
其中
正是矢量场F协变导数的上指标分量，等号右边第二项中下基矢对坐标的偏导数与上基矢的点乘则是克氏符：
上节课的文稿中，已经证明了用这种方式得到的克氏符能构造一个合法的“平移”操作，所以可以认为，之前所做的假设是自洽的。于是，协变导数的上指标分量可以被写为
矢量场协变导数由两项组成，第一项对应的是矢量场第α个上分量随坐标的变化率，第二项是下基矢随坐标的变化率在α分量上的修正，这个修正包含对下基矢的指标β的求和。
(张朝阳给网友们复习矢量场协变导数的上指标分量)
利用基矢的对偶关系 推导一阶张量协变导数的下指标分量
根据前面的介绍，一个矢量既可以按下基矢进行展开，也可以按上基矢进行展开，那么矢量场微分变化也可以按上基矢进行展开，这样得到的展开系数为下指标分量，相应的展开表达式为
与前面的推导类似，可以得到
其中
是协变导数的下指标分量。此时，有的网友表示疑问，以前介绍的协变导数下指标分量，其第二项前面是负号，这里怎么是正号？为了给网友们解疑，张朝阳回到基矢的正交关系中：
在上式等号两边同时对坐标求偏导数，注意到等号右边是一个常数，其坐标偏导数为0，于是得到
移项，可得
于是协变导数的下指标分量可以被写为
这正是以前直播课介绍过的协变导数下指标分量的表达式。
（张朝阳介绍矢量场协变导数的下指标分量）
协变导数是平直时空中普通导数在弯曲时空的推广。借助普通导数，可以知道平直空间中的矢量场散度为
因此，将其中的普通偏导数换成协变导数，即可得到弯曲时空中的矢量场散度表达式：
分析二阶张量的基底 推导二阶张量的协变导数
从前面的分析可以知道，推导得到一阶张量的协变导数的分量依赖于一阶张量的基矢展开式。因此，如果要想得到二阶张量的协变导数表达式，也需要先得到二阶张量的基底展开。以两个矢量U、V经过张量积得到的二阶张量为例，有
其中，最后一行省略了基矢张量积的符号。从中可以看到，一阶张量基矢的张量积可以作为二阶张量的基矢。对于一般的二阶张量，虽然不一定能被写成两个一阶张量的积，但是一定可以按照基矢张量积作为基底进行展开：
用上基矢从左右两边对其进行点乘可得
因此，要想得到二阶张量的上指标分量，就需要用上基矢从左右两边对其进行点乘。之所以是从左右两边进行点乘，是因为张量积是需要严格区分先后顺序的，从右边进行点乘只会和最右边的基矢点乘，从左边进行点乘则会与最左边的基矢进行点乘。例如，可以得到
除非二阶张量T是对称张量，才会有T^{mn}=T^{nm}，比如度规张量、能动张量以及里奇张量，它们都是对称张量。
有了二阶张量的基底展开式，接下来就可以分析它的微分变化了。二阶张量的微分变化依然是二阶张量，可以通过下基底来展开为
将其与上基矢在左右两边进行点积可得
其中最后一行将相关量替换成了克氏符，并将求和指标统一为了t。根据上式，二阶张量协变导数的上指标分量可以写为
对于二阶张量协变导数的下指标分量，张朝阳鼓励网友们自行推导，相应的结果为
这个结果在以前的直播课中已经介绍过，与一阶张量的情况类似，其中的克氏符前面也是负号，并且相应的求和指标也需要作出调整。
（张朝阳介绍二阶张量的协变导数）
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