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从时空对称性到电动力学,《张朝阳的物理课》验证麦克斯韦电磁理论的协变性

电磁现象可能是人类很早就认识到的物理现象。从古代对雷电的恐惧与崇拜,到运用天然磁石为人类的前行指明方向,再到文艺复兴后对电和磁的统一理论的构建与理解。可以说电磁现象伴随了人类对自然的探寻,而到了19世纪末20世纪初,电磁学回报给人类以宇宙最本质的认识之一:时空结构的对称性。9月10日教师节当天,《张朝阳的物理课》第二卷新书首场签售会举办,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳分享了新书中的特色内容,并与粉丝、读者和物理爱好者们互动交流,签售会现场火爆。

最大速度的存在导致时间和空间不再独立

事实上早在万有引力定律发现之初,Newton 就对这种平方反比律的长程力的表达表现出忧虑。似乎存在一种力,不论两个粒子相距多远,都瞬间地在两个粒子之间得以构建。这种超距作用让人深感不安。而 Coulomb 定律拥有着类似的形式:

其中 q1, q2 是两个带电粒子的电荷量,r 则为二者之间的距离。这种无限速度的存在事实上仰赖于 Galileo 时空观下的时间和空间的独立性,这一点可以从这样的思想实验中得到。考虑一个参考系 S ,在其中存在一个沿着 x 轴正方向以速度 v 匀速运动的粒子。考虑一个相对于 S 系沿着 y 轴负方向以速度 u 匀速运动的 S’ 系。在 t=0 时刻,假定 S, S’ 的原点以及粒子的位置是重合的。那么在 S 系中经过了 t 的时间之后,如果在 S’ 系中经过的时间为 t’, 这段时间中在 S’ 系中粒子运动的路程 l 满足勾股定理,应当有

而 S’ 系中粒子运动的速度正是

如果承认 Galileo 的时空观,即不同参考系中的时间流速相同,应当有 t=t’,那么当 v 是一个很大的速度时,由于 u 的平方总是大于零的,粒子在 S’ 系中的速度将会比 v 更大。这样就导致了这样的时空观下将不存在一个最大速度。从逻辑上来说,如果存在一个最大速度,那么 Galileo 时空观就应当是不成立的。不难看到,如果有 t’ > t,上面这样的困难将不再出现。今天人们已经接受一切作用的传递的速度都应当是有限的,而这事实上就是 Maxwell 的电磁理论所暗示,由 Einstein 在1905年通过狭义相对论彻底澄清的。

狭义相对论要求参考系之间的时空变换应当是时间和空间关系在一起的。数学地,如果参考系 S’ 相对 S 以速度 v 沿着 x 轴正方向匀速运动,在 t=0 时刻两个参考系的坐标原点重合,那么两个参考系之间的时空变换满足 Lorentz 变换

式中所有带撇的量代表 S’ 系中的时空坐标,而不带撇的量则为 S 系中的时空坐标。其中的变换系数满足

其中 c 为光速。

从电磁场强到电磁势

Maxwell 将电磁场规律概括为四个矢量方程。这些方程是关于场强的,可以利用它,来引入更深刻的势的概念。Maxwell 方程的微分形式可以写成

利用关于磁场 B 的散度方程,立即可以通过引入一个新的矢量场 A 来描述这种性质(这是通过 Helmholtz 定理保证的)

将这个结果带入到关于电场 E 的旋度方程,不难看到应当有

因此可以引入一个标量函数,使得其有

这里的标量函数 phi 和矢量函数 A 就被被称为标势和矢势。在相对论电动力学中,这样引入的标势和矢势构成了一个4-矢量,即它们在不同惯性参考系之间满足(特殊)Lorentz变换,即

电磁波的存在和电磁波速的不变性

将上面的电磁势的定义带入到电场的散度方程和磁场的旋度方程,Maxwell 方程就会诱导出波动方程。对于电场部分,有

而对于磁场部分,证明需要使用矢量微积分的结论

从而有

如果选择 Lorenz 规范,即

其中参数 c 满足

那么两个方程都可以整理为标准的波动方程的形式,即

这样的波动的波速正是

令人惊讶的是,这个波动方程并没有说明是相对于哪个参考系成立的。今天人们已经知道,c这个速度对于任何一个惯性参考系都成立。而这正是狭义相对论的理论基石之一。

电磁理论的相对论协变性

可以使用一个具体的算例来验证电磁理论的相对论协变性。同样考虑 S’ 参考系相对 S 系以速度 v 沿 x 轴正方向匀速运动,在 t=0 时刻两个参考系的原点重合。设想在 S’ 系的 x’ 轴上排列着一列均匀分布的电荷,其电荷线密度为 lambda。

不难通过静电学的 Gauss 定理计算到相距这条电荷线距离为 y 处的电场 E’ 大小应当有

其方向垂直于电荷线朝外,这一点接下来也会使用下标来标记。而在 S 系中来看,这条电荷线同样会在 y 处引起一个电场。如果使用电磁场的相对论变换,可以确定有

可以发现,电荷的线密度前面额外出现了一个系数。这可以从相对论性的长度收缩理解。在 S 系,由于电荷线在沿着 x 轴正方向以速度 v 运动,其上的一段长度应当发生 Lorentz 收缩,即

但这段长度中电荷量是不变的。因此在 S 系中的电荷线密度应当有

式中通过下标区分了两个参考系中看到的电荷线密度。

另一方面,在 S 系中由于电荷的运动,空间中将会出现磁场。利用 Ampere 环路定理,可以计算得到相距电荷线距离为 y 处磁感应强度的大小为

同样可以通过电磁场的相对论变换得到,应当有

从而可以计算出 S 系中的磁场大小为

其中使用了光速和真空介电常数与真空磁导率的关系。这就再次验证了电磁理论的相对论协变性。

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