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磁矩是量子化的吗?《张朝阳的物理课》介绍自旋构成的二维子系统

磁矩是量子化的吗?物理学家是怎么从实验上证明自旋的存在的?怎么从数学上描述自旋构成的二维子系统?5月19日12时,《张朝阳的物理课》第一百四十四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先从网友们熟知的量子力学动量本征态切入,介绍了怎么用列向量和矩阵形式来表示量子力学中的态和算符,然后介绍并分析了斯特恩-盖拉赫实验,实验结果表明银原子的磁矩(或者自旋)构成一个二维子系统。在此基础上,张朝阳介绍了自旋的二维子系统的数学描述,并且得到了自旋算符的矩阵表示。

将波函数写成态矢量 选择适当的基矢可得矩阵形式

根据之前物理直播课所介绍的知识,系统的物理状态是由波函数来描述的。借助傅里叶变换,一维空间上的波函数可以被写为

其中e^{ikx}是动量本征态。根据德布罗意关系,动量p正比于波矢k,因此e^{ikx}也可以被称为波矢本征态,所谓的波矢算符为

动量算符与波矢算符的关系为p=ℏk。将波矢算符作用在e^{ikx}上可以验证e^{ikx}确实是波矢算符的本征态:

张朝阳介绍说,未归一的物理态构成一个矢量空间,被称为希尔伯特空间。在这样的空间中,我们可以像处理三维空间那样选取特定的基,然后态矢量就可以用一个列向量来表示了。比如,使用|k〉来表示e^{ikx}:

那么波函数ψ(x)就可以表示为

在上式中已经将对k的积分写成了对k的求和,这样更能体现出按基矢分解的特性,式中的ϕ(k)就是相应的展开系数,而

则是粒子具有特定波矢k(或者具有特定动量)的概率(分布)。

波函数除了按动量本征态进行展开,还可以按能量本征态展开。比如考虑能量本征态|ψ_E〉,它满足

那么随时间演化的一般态可以表示为

为了更好地说明态矢的列向量形式与算符的矩阵形式,张朝阳假设波矢k只能取离散的值,这样就有

对于|k1〉,它可以被写为

这样的话我们可以用列向量的形式来表示|k1〉:

需要注意的是,|k1〉的具体含义是希尔伯特空间中的某个矢量,直接将它与列向量划等号是不太严格的,不过为了简单起见,我们忽略态矢与列向量在概念上的差异。基于同样的理由,可以得到

如果用列向量表示态矢,那么算符可以由矩阵来表示。根据波矢算符对态|k〉的作用,可以得到波矢算符的矩阵表示为

可以将它直接作用在各个|k〉上来验证它确实满足要求,比如作用在|k1〉上有

(张朝阳介绍矩阵形式下的算符及其对列向量的作用)

介绍磁矩的受力 分析斯特恩-盖拉赫实验结果

斯特恩和盖拉赫曾经做过一个实验,这个实验证明了基态银原子的磁矩只能取分立的两个值。实验装置如下图所示:

上下两块永磁铁之间产生了一个关于y-z平面对称的磁场,在磁铁之间的空间上,磁场分布可以近似看成是沿着y方向平移不变的。发射出来的银原子沿着y轴前进,最终会射到磁铁后面的屏上。

假设银原子的磁矩为μ,那么根据之前物理直播课介绍的知识,银原子在磁场B中受到的力与力矩分别为

因为磁矩μ是正比于角动量的,将比例常数记为α,那么根据角动量定理可以得到

这个方程的解就是以前在电动力学相关直播课中介绍过的拉莫尔进动,具体地,即银原子的自旋方向会绕着磁场B快速旋转。由于在y轴上磁场方向沿着z轴正方向,因此银原子在前进的过程中其磁矩会不断地绕着z轴正方向高速旋转,于是从时间上平均来看,银原子磁矩在x方向、y方向的分量都可以被看作是0。在此近似下,银原子受到的磁场力为

这里的i和k分别指x和z方向上的基矢。在上式的推导中已经使用了由Bz沿y轴平移不变的条件所导致的结果:

又因为磁场是关于y-z平面对称的,因此有Bz(x)=Bz(-x),于是在x=0处有

于是,从y轴射入的银原子的受力可以简化为

可见,在磁场分布固定的情况下,银原子受到的磁场力是正比于其磁矩的z分量的,且力的方向平行于z轴。如果银原子磁矩的z分量不为零,那么它将会偏离y轴,偏离的方向以及偏离的程度由μ_z决定。

根据经典力学,即使银原子的磁矩大小固定,由于出射的银原子的自旋方向是随机的,它的磁矩z分量必然可以连续取值,这将导致银原子在屏幕上形成连续的分布。然而实验结果却并非如此,银原子的分布不是连续的,而是分布在关于x轴对称的两块狭小的区域上。这说明基态银原子的磁矩z分量的取值并非是连续的,它只能取到离散的两个值,这两个值互为相反数。由于磁矩正比于角动量,这也说明基态银原子的内禀角动量的z分量只能取互为相反数的两个值。事实上,这两个值是±ℏ/2,对于这种情况,其内禀角动量一般被称为自旋。

(张朝阳分析银原子磁矩所受到的力)

如果假设银原子的原子核磁矩为0,那么通过分析核外电子的分布,可以知道基态银原子的磁矩由最外层的单个电子提供,这说明电子是具有自旋的。

选择z方向自旋本征态为基 求解自旋算符的矩阵形式

在只考虑自旋的情况下,可以忽略银原子的其他自由度,从而把银原子的态空间简化为其自旋态空间。由于其自旋z分量只能取互为相反数的两个值,因此存在两个线性独立的态:|+〉与|-〉。考虑自旋算符S的z分量Sz,它对|+〉与|-〉的作用满足

银原子的其他自旋态都可以写成|+〉与|-〉的线性组合,因此|+〉与|-〉可以作为自旋态空间的基。在此基矢下有

所以可以用列向量将|+〉与|-〉表示为

进一步地,可以得到Sz的矩阵形式为

可以通过直接计算来验证它确实满足要求:

(张朝阳介绍自旋空间中Sz的矩阵形式)

除了Sz,自旋算符还包含有Sx与Sy,它们是自旋算符的x分量与y分量。自旋算符的各个分量满足如下的对易关系:

Sx与Sy的矩阵形式是怎样的呢?张朝阳先来求Sx的矩阵形式。根据旋转对称性可以知道,既然Sz只能取互为相反数的两个值,那么Sx也应该只能取同样的一组互为相反数的值。张朝阳假设S_x的本征矢量为

其中的系数1/√2来源于归一化条件。容易验证上式这两个态满足正交关系,从而可以作为某个可观测量的本征矢量。同样,这两个态也可以使用列向量的形式表示为

设Sx的矩阵形式为

根据本征矢量以及本征值为±ℏ/2的条件,可以得到

由此容易得到

从中可以解得A=0与B=ℏ/2。同理可以得到C=ℏ/2,D=0,于是Sx的矩阵形式应为

有了Sz与Sx的矩阵形式,接下来只需要利用对易关系[Sz,Sx]=iℏSy即可求出Sy的矩阵形式。由于[Sz,Sx]=Sz*Sx-Sx*Sz,先来求Sz*Sx:

再求Sx*Sz,可得

所以

上式等号两边应该等于iℏSy,由此可以得到Sy的矩阵形式为

综上所述,在基矢|+〉与|-〉下,自旋算符的三个分量所对应的矩阵分别为

需要注意的是,前面只是假设了两个正交的矢量作为本征矢来求出Sx的形式的,但不是所有的矢量都能作为Sx的本征矢,因此这样得到的Sx未必是自旋x分量的矩阵形式。要想严格说明Sx及Sy的矩阵形式确实如上式所示,就需要依次验证它们满足自旋的三个对易关系,感兴趣的读者可以通过直接计算来验证。

前面在推导Sx的矩阵形式的过程中,同时得到了Sx的本征矢为

至于Sy的本征矢,可以先设为

可以得到

通过选取适当的相位使得α为大于0的实数,再考虑到归一化条件,可以得到

于是

这两个态矢也可以写成列向量的形式:

(张朝阳介绍各个自旋算符分量的矩阵形式)

最后,张朝阳介绍了任意方向的自旋算符的矩阵形式。根据球坐标的相关知识,指向方位角(θ,ϕ)的单位矢量为

于是,n方向的自旋分量可以被写为

最后,张朝阳写出了算符Sn的本征态:

张朝阳鼓励网友们直接计算求解出n方向的本征矢表达式。张朝阳还告诉网友们说,这一节课的内容参照于科恩的《量子力学》第一卷第四章。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

从波动力学到矩阵力学

自旋矩阵任意方向

自旋矩阵z方向

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