怎么描述柱坐标体系下的热传导方程？对比高对称性的球坐标的热传导方程，柱坐标下的热传导方程又会有什么样的区别？
如何利用贝塞尔函数描述传热系数极大情况下的柱坐标的热传导方程？2月24日12时，《张朝阳的物理课》第一百二十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，通过贝塞尔方程求解柱坐标下的热传导方程，并成功得到其温度分布。之后又通过传热系数极大等边界条件，借助正交基的方法，解出了柱坐标下的温度分布方程。
利用贝塞尔函数求解柱坐标下的热传导方程的通解
在上一节的课程中我们知道，三维的热传导方程是：
其中κ是傅里叶导热定律中的系数，ρ是物质密度，Cv是单位质量的定体热容。面对柱坐标的方程，张朝阳依然沿用之前求解球坐标时使用的分离变量法，即：
将其代入前式可得：
其中，倒三角的平方符号是径向的拉普拉斯算符。
将相同变量函数整理到等式同一侧，则由于两边变量独立，等式成立的条件是该等式两边同时等于一个常数，我们这里设它为β，即可得到：
继而对于时间函数g(t) 就有:
因此可以得到g(t)是一个关于e指数的函数，即：
为了保证g(t)函数是收敛的，这里的β需要是一个负数。
由于径向拉普拉斯算子在柱坐标下有：
将其代入前面关于h(r)的等式中,可得:
继续化简之后可以得到如下的形式：
我们可以看到，这样的形式和贝塞尔函数的形式非常之像，这也是为什么物理学中柱坐标经常会和贝塞尔方程绑定，而且满足贝塞尔方程的函数会被称为柱函数的原因。
我们继续在前式两边同时乘以r的平方，这样可以把左侧的单项都变成h(r)的量纲：
为了格式上更加方便计算，我们做一个简单的代换，使：
将其代入前式，这样我们就得到了一个0阶贝塞尔方程：
为方便对比，下面将列出ν阶贝塞尔方程的标准形式，即：
根据之前的课程中所讲的内容，易得ν阶贝塞尔方程的解是：
此处当Γ函数的自变量为整数时有：
将其代入前式可得，h(x)的形式，即0阶贝塞尔方程的解：
接着将x换元回去，可得：
张朝阳讲解柱坐标体系热传导方程和贝塞尔函数的关系
综上，g(t)和h(r)的函数分别已求得，将其代入T(r,t)函数可得：
由于柱坐标体系在r=0处（轴心位置）完全对称，所以此处的热流为0，可得边界条件：
其次我们根据贝塞尔函数的递推公式可以知道：
、
对于零点，有：
将其代入上述边界条件，有：
可以知道r=0处热流为0的边界条件永远成立。
传热系数极大时，利用贝塞尔函数求解柱坐标体系下热传导方程的通解系数
假设柱体外部是一个恒温液体环境，也即假设外界的热容无限大。根据牛顿冷却定律（即一个物体所损失的热的速率与物体和其周围环境间的温度差为正比例关系）可以列出以下方程：
等式右边的C的含义是传热系数，T∞表示柱体外恒温液体的温度，是一个常数。
假定柱体的传热系数无限大时，有：
则该等式成立的条件为：
这从物理上也是很好理解的，因为当传热系数无穷大的时候，柱体表面的温度与外界温度是一样的。将其代入上述T的表达式，可得：
又因为当时间t趋于正无穷的时候，T会趋于T∞，此时对于前式有：
同时结合两个条件（传热系数无限大及t趋于正无穷），即将其代入前式，可以得到：
此处等式恒成立的条件为：
然而贝塞尔函数有无穷多个解，这里我们用λi, i=1,2,3...来代表这些解，即：
再将其和上述得到的A0= T∞代入T的表达式，至此张朝阳得到了用贝塞尔函数的解λi来表示温度场的方式：
代入初始条件，即t=0时T=T0，有:
随后，和上一节课在球坐标下利用傅里叶级数的正交性一样，张朝阳利用了贝塞尔函数的正交性，即：
等式两边分别乘以J0（λi），再乘以x，并在0到1上对x积分，得到：
对于一般情况的贝塞尔函数有：
ν为贝塞尔函数阶数，αm为常数项，a为积分上限，r为径向距离。
将其代入前式方程可得：
可以得到系数Ai为：
接下来，张朝阳用换元的办法将等式化简为：
再结合前面用到的贝塞尔函数的递推公式，得到：
张朝阳求解温度分布函数的系数
再将其代入T的表达式中即可得到最终的温度函数，即：
张朝阳推导柱坐标热传导方程
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本节课相关视频如下：
圆柱体模型及其热传导方程：
径向方程的求解：
边界条件对解的限制：
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