评论

粘滞流体流速如何随时间演化?《张朝阳的物理课》求解圆柱形管中含时NS方程

原标题:粘滞流体流速如何随时间演化?《张朝阳的物理课》求解圆柱形管中含时NS方程

在恒定压差下圆柱形管中粘滞流体的流速场如何随时间演化?怎么求解圆柱形管中的含时NS方程?如何用幂级数解法求解贝塞尔方程?《张朝阳的物理课》第一百一十五期在1月14日12时开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了不同情况下的纳维尔-斯托克斯方程的特点,随后研究恒定截面的圆管中的流体,在恒定压差下从静止开始到流速稳定下来,流速场的演化过程。他先根据无穷长时间的渐进行为化简纳维尔-斯托克斯方程,利用分离变量法将方程的时间与空间分离,其中空间部分的微分方程化为贝塞尔方程。之后采用微分方程的幂级数解法求解贝塞尔方程,推导出递推公式并得到0阶贝塞尔函数,进一步根据边界条件确定了流速分布的形式,并引出了傅里叶-贝塞尔级数。

分析含时NS方程的渐进行为 分离变量得到贝塞尔方程

在之前的直播课程中,张朝阳介绍了流体力学中的基本概念,并推导了纳维尔-斯托克斯方程:

纳维尔-斯托克斯方程反映了不可压缩粘性流体流动的基本力学规律,它是一个非线性偏微分方程,一般情况下很难求解。之前的课程只讨论稳恒流动的情况,上述方程中关于时间偏导的项为零;即便如此,当流管形状不规则的时候,上式中的第二项不为零,此时若粘滞系数项也不为零,方程仍然很复杂。这里的形状规则是指流管的横截面形状大小方位处处相同,即截面恒定的情况,不满足此条件则称为形状不规则。

所以在之前的课程中,对于形状不规则流管,张朝阳要求粘滞系数为零,这样根据纳维尔-斯托克斯方程可以推导出伯努利原理。对于形状规则流管,流体微元的运动可以不具有加速度,流体可以做泊肃叶流动,所以上式的第二项为零,这样可以考虑粘滞系数不为零的情况,这时压强梯度与流体之间的粘滞力相抗衡,形成稳恒层流。但之前讨论的都是流速场与时间无关的稳恒流动,这节课将进军含时速度场的情况,具体是研究恒定截面的圆管中的流体,在恒定压差下从静止开始到流速稳定下来,流速场的演化过程。

与推导泊肃叶定律的情形类似,流体在一个半径为R的圆柱形管中流动,以管中心轴为z轴,建立柱坐标系。假设流体只有沿着z方向的速度,且具有绕z轴的旋转对称性。那么由于流体不可压缩,由流量守恒可知速度与坐标z无关,柱坐标系中流体的速度场可以写成:

其中,e_z是沿z轴正方向的单位向量。

由于流速与z无关,可得上述纳维尔-斯托克斯方程的第二项为零:

在不考虑重力场的情况下,纳维尔-斯托克斯方程可以简写成:

跟之前稳恒层流的分析类似,这里流速只有z分量,所以压强梯度也只有z分量,即压强沿着径向与角向都不会变化,另外由于流速与z无关,根据上述方程可知压强梯度与z无关,结合压强沿着径向与角向都不变化的性质,容易推得压强梯度的z分量是关于全空间的一个常数-c(t),为了方便后续求解,这里要求该常数与时间t无关,于是压强梯度可写为:

由于流速沿z轴正方向,上式加了负号使得c>0,具体为:

那么恒定压强的纳维尔-斯托克斯方程的z分量为:

为了求解上述方程,张朝阳接下来分析含时流速分布在时间趋于无穷时的渐进行为。刚开始管内全空间的流速都为零,在恒定压强的驱动下开始加速流动;但随着流速的增加,阻碍流体运动的粘滞力也随之增加,直至与恒定压强梯度造成的驱动力相平衡。所以,随着时间的流逝,流速不会增大到无穷,而是趋于一个稳定值,即在时间趋于无穷时有:

于是,在时间趋于无穷时,上述关于流速分布的含时方程,变成稳恒流动的不含时方程,在推导泊肃叶定律时已经解过该方程并得到抛物线型的流速分布,设函数f(r)为该稳恒状态的抛物线型流速分布:

那么函数f(r)满足稳恒层流方程:

分析完流速分布的渐进行为后,可以将含时流速分解成如下形式:

其中函数g(r,t)具有渐进行为g(r,t=∞)=0 。

将该形式的速度分布代入含时速度分布方程,可以利用f(r)所满足的方程将含时方程进一步化简为:

为了后续书写的简洁,这里定义参数ν为:

那么函数g(r,t)所满足的方程可写成更加紧凑的形式:

(张朝阳分析流速的渐进行为以化简含时NS方程)

先前的直播课也遇到类似形式的方程,可以使用分离变量法来求解方程。具体是将函数g(r,t)的时间与空间分开:

并代入函数g(r,t)所满足的方程,两边再同时除以g(r,t)得到:

其中,第一个等号左边只含有变量t而右边只含有变量r,这表明等号左(右)边与变量t与r都无关,是一个常数,所以最后一个等号令该常数为参数α 。于是,可用参数α表示函数h(t)满足的方程以及方程的解:

其中因为函数g(r,t)具有渐进行为g(r,t=∞)=0 ,所以α小于零,即-α>0。

而用参数α表示函数K(r)满足的方程则为:

利用拉普拉斯算子在柱坐标系下的表达式,可将上述方程写成如下常微分方程:

整理其中关于r的导数,具体写成二阶线性齐次微分方程的形式:

为了将无关系数吸收掉,并由于-α>0,可定义参数x为:

那么方程可进一步改写为更加简洁的形式:

需要说明的是,其中K(x)关于x与K(r)关于r并不是同一个函数,严格来讲K(x)关于x的函数是K’(x)=K(r)=K(x√(-ν/α) ),只不过这里为了书写方便不用K’(x)而仍然用K(x)。

在数学物理方法中有非常著名并被研究透彻的n阶贝塞尔方程:

将K(x)所满足的方程与n阶贝塞尔方程做对比,可以发现K(x)所满足的方程正是0阶贝塞尔方程。

(张朝阳分离变量求解含时方程并得到贝塞尔方程)

利用递推公式求得贝塞尔函数 根据边界条件确定流速分布

为了最终得到含时的流速分布,张朝阳采用微分方程的幂级数解法,将函数K(x)展开为自变量x的幂级数:

将K(x)的幂级数形式代入上述0阶贝塞尔方程中,交换求导与求和顺序后得到:

进一步将关于x相同幂次前的系数合并得到:

由于x可以取任意值,这要求任何幂次前的系数都为零:

上式逗号左边的等式表明K(x)的展开系数的k+2项与k项有递推关系:

又因为a1=0,根据递推关系知a3正比于a1,即a3=0,又因为a5正比于a3,所以a5=0,同理可得展开系数a的所有奇数项都为零,只有偶数项可能不为零。若ak不为零,那么递推关系可写成:

于是任意偶数项与a0的关系为:

将上述求得的展开系数带回K(x)的级数展开表达式,可得0阶贝塞尔方程的解:

(张朝阳推导出贝塞尔方程级数解法的递推公式)

数学家已充分研究过任意阶数的贝塞尔方程,0阶贝塞尔函数的其中一个解,即第一类贝塞尔函数为:

注意到二阶线性齐次微分方程的解可以相差任意常数的倍数,若将K(x)的幂级数中的第零项的系数a0取为1,那么用幂级数展开与递推公式得到的解,正是第一类贝塞尔函数。即一般情况下有:

进一步结合x与α的关系式以及h(t)的表达式可得函数g(r,t)正比于如下形式:

注意到上式中参数α的取值具有任意性,对于不同的α,上式都是方程的解。而g(r,t)满足的微分方程是线性齐次微分方程,所以这些解的叠加仍然是方程的解。用下标i来标记不同值的参数α,那么更加一般的解可写为:

其中,Ai是与变量r和t都无关的常数。

结合函数f(r)与g(r,t)的表达式,流速分布具有如下形式:

为了进一步限定参数α的值,张朝阳考虑不滑动边界条件,即流速在圆管内壁r=R处恒为零:

在此边界条件的限制下,对于流速分布函数,其第一项f(r)自动满足f(r=R)=0;而第二项中,由于g(r,t)中对于不同的i有着不同的含时e指数函数,这就要求对每一个i,在r=R处都满足0阶贝塞尔函数取值为零

设λi是0阶第一类贝塞尔函数的第i个零点,即J₀(λi)=0,那么根据上式显然有:

注意到贝塞尔函数有无穷多个零点,于是可求得α的取值为:

有了参数α的具体取值,流速分布可用贝塞尔函数的零点λi写成更加具体的形式:

为了进一步将叠加参数求出来,张朝阳定义了如下新变量以方便后续计算与推导:

这样就可以将速度分布中无关紧要的系数cR^2/4μ提取出来,得到如下大括号中更加简洁的形式:

除了不滑动边界条件,这里还有另一个边界条件,是方程的初始条件,即t=0时刻流速处处为零:

将上述新变量表示的流速分布代入上述边界条件中得到:

上式表明,叠加系数ai是函数y^2-1用0阶贝塞尔函数展开后的各项系数,这种方式展开得到的级数称为傅里叶-贝塞尔级数。具体如何得到级数各项的展开系数,请见下回分解。

(张朝阳根据边界条件引出傅里叶-贝塞尔级数)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

责任编辑:

声明:该文观点仅代表作者本人,搜狐号系信息发布平台,搜狐仅提供信息存储空间服务。
发布于:北京市
阅读 ()
大家都在看
推荐阅读
免费获取
今日搜狐热点
今日推荐