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如何求解简单情况下的NS方程?《张朝阳的物理课》推导椭圆管中的流量公式

原标题:如何求解简单情况下的NS方程?《张朝阳的物理课》推导椭圆管中的流量公式

如何求解简单情况下的纳维尔-斯托克斯方程?椭圆管中粘性不可压缩流体的流量与什么有关?《张朝阳的物理课》第一百一十三期在1月1日12时开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了泊肃叶流动的性质,据此写出椭圆管中流速所满足的方程,类比求解三角管流速的方法,根据不滑动边界条件与椭圆方程猜出速度分布的形式,代入流速方程得到完整的流速分布。最后将流速对椭圆截面进行积分,得到椭圆管中粘性不可压缩流体的流量公式。

研究椭圆管中粘滞流体 根据边界巧猜流速分布

在之前的直播课中,张朝阳利用纳维尔-斯托克斯方程导出了圆管与三角管的流量公式。这节课他进一步利用纳维尔-斯托克斯方程来推导椭圆管的流量公式。在这里的椭圆管中,垂直于中心轴的截面恒为相同的椭圆。

如上图所示建立直角坐标系,z轴置于椭圆管的中心,xy平面切出一个椭圆截面,x轴与椭圆长轴重合,y轴与椭圆短轴重合。前几节直播课也讲解过,当流体雷诺数较小时,流体可以处于稳恒层流的状态,流速方向只有沿着管方向的速度,并且流速沿着z方向是定值,另外流速在边界处恒为零,一般称流体的这种流动为泊肃叶流动。这里同样假定椭圆管中的流体流动是泊肃叶流动的情况,并且流体的流速方向是z轴正方向。

上节直播课已证明,对于泊肃叶流动,压强P与x和y都无关,并且∂P/∂z在整个三角管内为一个常数-c:

其中,由于流速沿着z方向,压强沿着z方向减小,所以等号右边引入负号使得常数c>0。

那么根据上节课的推导,在不考虑重力场的情况下,泊肃叶流动的纳维尔-斯托克斯方程可以化简成如下简单形式:

该方程是泊松方程,泊肃叶流动假定了不滑动边界条件,即管壁处流体流速为零。类似上节课张朝阳根据三角管边界条件猜出了方程的解,这节课他也通过椭圆管壁上的流速为零这一边界条件巧妙猜出方程的解。

为了更加精准地利用边界条件,需要将边界的方程写出来:

这是直角坐标系下的椭圆方程,a是椭圆的半长轴,b是椭圆的半短轴。同样地,类比三角管利用边界方程猜出流速的方法,这里可以发现,如下形式的流速分布在边界上的值为零,即满足不滑动边界条件:

为了验证该表达式的正确性以及求得参数α的值,张朝阳将其代入流速所满足的泊松方程:

上式两边都不含x或y,都是常数,说明前面猜测的流速表达式是正确的。进一步将上式移项并整理得到参数α的值:

将参数α的值带回流速场的表达式得到完整的流速分布为:

(张朝阳根据边界条件猜出流速分布)

对流速关于椭圆截面积分 推导出椭圆管的流量公式

有了流速关于空间的分布,可以通过对椭圆管的截面的积分得到体积流量,不过为了书写方便与简洁,这里定义参数β为:

那么对椭圆管截面的积分得到体积流量的过程为:

其中,第一行利用了椭圆流速与形状在四个象限的对称性,只需要完成第一象限的积分并乘以4即可得到对完整椭圆的积分,另外根据椭圆方程,第一象限的椭圆边界在固定x值时的y值为y=b√(1-x^2/a^2),所以关于y的积分上线是b√(1-x^2/a^2) 。

对于最后一行出现的积分,可以通过查询积分表得到结果,积分表中有如下公式:

将n=2代入上述积分公式得到:

结合该n=2的积分公式以及参数β的定义,可以求得椭圆管的流量公式:

该公式揭示了粘性流体在椭圆管中的流量与流体压强和管参数之间的关系。半径为R的圆是a=b=R的特殊椭圆,所以由上述椭圆管的流量公式可以得到圆管的流量公式:

其中,已经将常数c具体写成一段距离|Δz|两端的压强差|Δp|与该段距离的比值|Δp/Δz|的形式。这就是之前推导过的泊肃叶定理,说明这里通过边界条件巧妙猜出的解,与之前直接解泊松方程得到的结果是一致的。

(张朝阳对流速积分得到椭圆管的流量公式)

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。”返回搜狐,查看更多

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发布于:北京市
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