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128个网球有多少种排列方式?超过了宇宙原子总数!

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  参与:汪汪

  最近,剑桥大学的研究者解决了一个看起来非常困难的问题,它涉及到一些巨大的数字。简而言之,这个问题就是说,假如你有128个网球,你可以任意地将它们进行排列组合,那么,总共有多少种可能的排列方式?根据这项研究,答案是10^250种,比宇宙中所有粒子的数量还多。

  

  除了复杂性,这项研究还为如何计算颗粒物理学(granular physics)中的「位形熵(configurational entropy)」提供了一个实际的案例。也就是说,如何测量一个系统或结构内部粒子的混乱程度。这个研究为解决更大的问题所需的数学方法提供了一个模型,例如预测雪崩以及如何创造出更有效的人工智能系统。

  剑桥大学的这项研究为理解沙漠的形成以及如何让人工智能更有效等问题提供了数学基础。这个团队开发了一个计算机程序来解决下面这个问题:假设你有128个软球体(有点像网球),你可以把它们以任意方式堆在一起。那么,一共由多少种不同的方法呢?

  结果是10^250(也就是1后面跟着250个零)。这个数实在太大了,超过了宇宙中所有粒子的总数。

  解决这个问题固然很重要,但比这个问题更重要的是研究者们能够回答这个问题的能力。他们使用的方法能够帮助科学家计算一种被称为位形熵的东西——这个词用来描述一个物理系统中粒子的结构混乱程度。

  理论上说,如果我们能够计算位形熵,那我们就能解决一大堆看起来不可能解决的问题——例如预测雪崩的运动,或者预测沙漠中变换的沙丘会随时间发生怎样的形变。

  这些问题属于一个被称为颗粒物理学的领域,这个领域主要研究雪、土壤或砂砾这种材料的行为。同样的问题还存在于其他领域,例如弦理论、宇宙学、机器学习以及数学的许多分支。这项研究表明,我们有一天能解决这些不同学科的问题。

  Stefano Martiniani是剑桥大学圣约翰学院的 Benefactor学者,他与化学系的同事一起完成了这项研究。他解释说:「这个问题完全是通用的。颗粒材料本身就是地球上位列水之后第二普遍的材料,甚至于地球表面的形状也是由它们的行为所决定的。」

  「当然,要预测雪崩和沙漠的变化,还有很长的路要走,但是我们总有一天会解决这些问题。这项研究就表明了一种我们到时候会用到的计算方法。」

  这些问题的核心是熵的概念——这个词描述的是系统内粒子的混乱程度。在物理学中,「系统」指的是我们想要研究的任意一组粒子的集合体,所以,它可以指代湖中所有的水,或一块冰中所有的水分子。

  当一个系统发生变化时(例如在温度的变化之下),这些粒子的排列组合就会发生变化。例如,如果一块冰被加热变成一滩水,它的分子就会变得更加混乱。由于冰块拥有更紧密的结构,所以我们认为冰块的熵比一滩水更低。

  在分子层面上,由于所有的一切都在不停地振动,因此很容易清楚地观测和测量。实际上,许多分子过程都涉及到自发熵增,直到一个稳定的平衡状态。

  然而,颗粒物理学中的大多数材料都很宏观,可以用肉眼直接观测到,它们的变化并不像上面所说的分子层面那样。沙漠中的沙丘不会自发改变粒子(也就是砂砾)之间的排列。变化需要外力才会发生,例如风。

  这意味着,即使我们能预测分子过程中即将发生的事,我们也无法对颗粒物理学系统做出轻易的预测。要对其做出预测,必须度量出系统中所有粒子的结构混乱程度——也就是它的位形熵。

  然而,要做到这一点,科学家首先必须知道这个系统到底有多少种结构组合方式。这种计算非常复杂,人们曾经认为,超过20个粒子的系统就无法计算了。然而,剑桥大学的研究者却解决了120个粒子的难题。

  Martiniani说:「要解决这个问题,有一个靠蛮力的方法,那就是不断改变这个系统的配置状态,然后数数。不幸的是,要数完这个数,可能需要几辈子的时间。并且,你无法存储这些状态,因为哪怕用尽宇宙中所有物质,也存不下。」

  与之不同的是,研究者创造了一个解决方法,在所有可能的排列组合中取出了一个小样本,并计算它们发生的概率,或者说计算能导致这些组合发生的排列总数。

  基于这些样本,不仅可以推断出整个系统的排列共有多少种,还能推断出一种状态与下一种状态之间的相对混乱程度——也就是它的整体位形熵。Martiniani补充说,他们团队解决问题的方法可以用来解决物理学和数学中各种各样的问题。比如说,他自己就正在进行机器学习的研究,而机器学习要解决的一个问题就是搞清楚在系统用哪种方法来处理信息最有效。

  他说:「由于我们采用的间接方法依赖于观测所有可能的组合中的一个小样本,所以它得出的答案只是一个近似值,但评估的结果却很不错。通过回答这个问题,我们打开了一扇没有踏足过的门。这个方法可以用在任何『有多少种可能性』的问题上。」这篇论文发表在《Physical Review E》。

  参考文献:

  Stefano Martiniani, K. Julian Schrenk, Jacob D. Stevenson, David J. Wales, Daan Frenkel. Turning intractable counting into sampling: Computing the configurational entropy of three-dimensional jammed packings. Physical Review E, 2016; 93 (1) DOI:10.1103/PhysRevE.93.012906

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